5.5. Общие регулярные процессы.

Мы уже видели, что если по известной реализации процесса на отрезке длины можно определить также значения процесса во все остальные моменты времени, то эффективность среднеарифметической оценки среднего значения, построенной по наблюдениям процесса в течение промежутка времени, превосходящего А, равна нулю. Для того чтобы избежать такого положения, естественно ограничиться рассмотрением одних лишь регулярных (или, как еще говорят, чисто недетерминированных) случайных процессов (по поводу таких процессов см., например, Ханнер [1] и Карунен [4]). В этом случае спектральная функция процесса является абсолютно непрерывной и обладает тем свойством, что существует функция с интегрируемым квадратом модуля такая, что

и что функция

обращается в нуль на отрицательной полуоси. Мы предположим, кроме того, что при малых значениях X

где коэффициент вещественен и отличен от нуля,

Рассмотрим гильбертово пространство функций от X со следующим скалярным произведением:

В этом пространстве функция

а также все функции очевидно, будут иметь конечную норму. Обозначим через подпространство нашего пространства, натянутое на функции и пусть

В таком случае функции все будут иметь конечную норму и, кроме того, Положим

и

Если

— спектральное разложение процесса то

где

По данным наблюдений за процессом на интервале можно построить оценку

в самом деле, если

то, очевидно,

В таком случае

Проекция функции

на подпространство, натянутое на функции очевидно, равна при она стремится к пределу При этом

При предел левой части этого равенства может быть подсчитан непосредственно:

Но первый член правой части при стремится к нулю:

а для второго члена имеет место предельное соотношение

Отсюда вытекает, что

Аналогично доказывается, что

Рассмотрим теперь следующую несмещенную оценку среднего значения:

(это можно сделать, так как знаменатель здесь, наверное, отличён От нуля, если достаточно велико). Мы покажем, что эта оценка имеет наименьшую дисперсию. В самом деле,

и

Полагая теперь

мы при — будем иметь

В силу теоремы Планшереля первый член справа здесь равен

(напомним, что у нас и Точно так же показывается, что и второй член равен нулю (ибо . Таким образом,

и, следовательно, действительно является оценкой наименьшей дисперсии. Аналогичные рассуждения показывают, что на самом деле не зависит от

Подсчитаем теперь, чему равна дисперсия оценки Рассмотрим выражение

Первый интеграл в правой части стремится к нулю при (ибо он представляет собой преобразование Фурье суммируемой функции), а второй интеграл стремится Отсюда для дисперсии наилучшей несмещенной оценки величины получаем

Тем самым мы показали, что для рассмотренного здесь класса регулярных случайных процессов среднеарифметическая оценка является асимптотически эффективной во всем классе линейных несмещенных оценок (а не только в подклассе этого класса, рассмотренном в § 5.3)