Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.5. Общие регулярные процессы.Мы уже видели, что если по известной реализации процесса на отрезке длины
и что функция
обращается в нуль на отрицательной полуоси. Мы предположим, кроме того, что при малых значениях X
где коэффициент Рассмотрим гильбертово пространство функций от X со следующим скалярным произведением:
В этом пространстве функция
а также все функции
В таком случае функции
и
Если
— спектральное разложение процесса
где
По данным наблюдений за процессом
в самом деле, если
то, очевидно,
В таком случае
Проекция
на подпространство, натянутое на функции
При
Но первый член правой части при
а для второго члена имеет место предельное соотношение
Отсюда вытекает, что
Аналогично доказывается, что
Рассмотрим теперь следующую несмещенную оценку среднего значения:
(это можно сделать, так как знаменатель здесь, наверное, отличён От нуля, если
и
Полагая теперь
мы при —
В силу теоремы Планшереля первый член справа здесь равен
(напомним, что у нас
и, следовательно, Подсчитаем теперь, чему равна дисперсия оценки
Первый интеграл в правой части стремится к нулю при
Тем самым мы показали, что для рассмотренного здесь класса регулярных случайных процессов среднеарифметическая оценка является асимптотически эффективной во всем классе линейных несмещенных оценок (а не только в подклассе этого класса, рассмотренном в § 5.3)
|
1 |
Оглавление
|