4.6. Существование и определение функции, задающей критерий.

Так как функция почти наверное имеет интегрируемый квадрат, то, предполагая, что последовательность сходится в среднем квадратичном к функции мы почти наверное будем иметь:

Такая форма критерия, разумеется, является очень удобной. К сожалению, она не всегда имеет место. В силу теоремы Фишера — Рисса для сходимости в среднем квадратичном последовательности необходимо и достаточно выполнение условия Если последнее условие выполняется, то, воспользовавшись билинейным представлением ядра мы найдем, что

где ряд справа сходится равномерно при всех Но, разумеется,

при всех Если система функций является неполной, то мы, как и ранее, добавляем к ней дополнительную ортонормированную систему При этом если для какого-либо

то мы введем в рассмотрение область

и, очевидно, при Так как мы условились рассматривать лишь регулярный случай, то последнюю возможность мы должны исключить и, следовательно, считать, что

для почти всех что

для почти всех . В последнем равенстве левая часть непрерывно зависит от (в силу свойств корреляционной функции), а также является непрерывной функцией (как среднее значение непрерывного в среднем случайного процесса). Поэтому равенство это должно выполняться для всех без исключения

Наше равенство можно рассматривать как интегральное уравнение относительно Если это уравнение имеет решение с интегрируемым квадратом, то мы немедленно получаем

откуда в силу теоремы Фишера — Рисса следует, что . Таким образом, для существования функции с интегрируемым квадратом, задающей наилучший критерий, необходимо и достаточно, чтобы интегральное уравнение

имело решение с интегрируемым квадратом. Искомой функцией в этом случае будет проекция указанного решения на подпространство, натянутое на систему функций -Наша задача свелась таким образом к нахождению "истокообразного представления" среднего значения через корреляционную функцию.

Наиболее интересным, разумеется, является случай (особенно если процесс стационарен). Рассмотрим специально такой стационарный случай. Здесь интуитивно ясно, что если наш процесс весьма регулярен, например литичен по (откуда следует, что функция аналитична в окрестности точки то не будет существовать никакого наилучшего критерия рассматриваемого нами простого типа. Воспользовавшись спектральным представлением корреляционной функции

мы в силу абсолютной интегрируемости получим

где

Если функция аналитическая в круге для некоторого положительного то, как известно, она будет аналитической и в полосе (см. Леви [1]). Следовательно, в этом случае равенство

должно иметь место не только при но и при всех вещественных Так как то

последнее равенство означает, что при всех вещественных

где

Воспользовавшись теперь методом аппроксимации, примененным Каруненом ([3], стр. 64—65), мы получаем, что почти всюду относительно за исключением, быть может, точки Но так как целая функция (как интеграл Фурье от функции, отличной от нуля лишь на конечном отрезке), не равная тождественно нулю, то она может иметь лишь дискретное множество нулей и, значит, должна быть ступенчатой функцией:

где полагается (разумеется, эти новые не следует путать с собственными значениями интегрального уравнения). Отсюда видно, что если спектр процесса содержит абсолютно непрерывную или сингулярную компоненту, то наилучший критерий рассматриваемого нами вида не может существовать. Если же спектр является чисто точечным, то мы рассмотрим подпространство гильбертова пространства функций с интегрируемым по квадратом, натянутое на элементы

Частоты не могут располагаться столь плотно, чтобы содержало константу, так как иначе

и

Поскольку то мы можем положить

где Примем теперь тогда

В дальнейшем мы еще вернемся к подобным вопросам в связи с теорией оценок.