4.7. Критерий для проверки гипотезы о множителе при корреляционной функции нормального процесса.

Еще один класс гипотез относительно нормальных процессов может быть получен следующим образом. Предположим, что среднее значение процесса нам известно — скажем, тождественно равно нулю. Что касается корреляционной функции, то мы предположим, что она известна с точностью до постоянного множителя. Положим

Пользуясь теми же координатами, что и ранее, мы будем иметь в следующие функции плотности:

и, значит,

Если справедлива гипотеза то, воспользовавшись тем, что почти наверное сходится к 1 (этот факт будет доказан ниже), мы получим

(ибо правая часть имеет максимум при . Таким образом, с вероятностью 1 сходится к значению 0. Если же справедлива гипотеза то аналогично показывается, что почти наверное (относительно сходится к значению Таким образом здесь мы столкнулись со следующим любопытным обстоятельством: для рассматриваемого класса гипотез всегда имеет место крайний сингулярный случай. Нетрудно указать явное выражение, позволяющее с вероятностью 1 определить, какая из гипотез на самом деле выполняется. Рассмотрим сумму

где

Так как независимые случайные величины, то мы можем применить теорему Колмогорова о сходимости; отсюда вытекает, что предел

почти наверное существует при всех гипотезах, причем он равен 1, если справедлива гипотеза и равен если справедлива гипотеза На.

Рассмотрим преобразование следующим образом действующее на элементы выборочного пространства:

где X — вещественная постоянная, отличная от 1. Заметим, что множество значений при которых

будет иметь -меру 1. Очевидно, что множество не будет пересекаться с и будет иметь -меру 0. В частности, если то наш процесс будет процессом Винера — процессом со стационарными, нормальными, независимыми приращениями. В этом случае указанные выше удивительные свойства множества были обнаружены Камероном и Мартином [1], исходившими из соображений, как будто бы не связанных с проверкой статистических гипотез,