6.5. Фильтрация как проблема регрессии.

В заключение мы применим метод § 6.1 к задаче о фильтрации стационарных процессов. Эта задача подробно разобрана в книге Винера [1], рассматривавшего, однако, только "односторонние фильтры", зависящие лишь от значений процесса в прошлом. Хотя во многих технических приложениях это предположение является вполне естественным, можно думать, что при фильтрации рядов наблюдений, с которыми приходится иметь

дело в математической статистике, обычно не будет никаких оснований для использования одних лишь прошлых значений процесса. Поэтому мы здесь рассмотрим случай, когда реализация процесса известна нам на столь большом временнбм интервале, что его можно даже считать бесконечно большим по сравнению с естественной единицей времени, определяемой эффективной шириной спектра процесса.

Предполагая процесс имеющим нормальное распределение вероятностей и рассматривая математическое ожидание отвечающих ему условных распределений или же отыскивая наилучший линейный фильтр, мы придем к одним и тем же результатам. Пусть стационарный процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией

где неотрицательная функция, интегрируемая на всей Рассмотрим случай, когда значения у (О искажаются шумом представляющим собой также стационарный процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией

То, что мы наблюдаем, — это процесс Будем считать, что шум является некогерентным, т. е. что процессы взаимно некоррелированы. Нам требуется дать оценку значения по известным значениям Рассмотрим последовательность линейных комбинаций

где отвечающий процесс с некоррелированными приращениями (см. § 1.3). Для того чтобы последовательность сходилась в среднем к элементу необходимо и достаточно, чтобы функции сходились в

среднем относительно меры где

к функции при этом

В соответствии с методом § 6.1 за оценку величины следует принять это элемент, обращающий в минимум "расстояние" при условии, что Но

и, следовательно,

Заметим теперь, что

принимает наименьшее значение при

поскольку при каждом значении X подинтегральное выражение обращается в минимум именно при этом . Кроме того ясно, что наше принадлежит так как Средний квадрат ошибки, получаемой при использовании такого фильтра, дается выражением

Полученный наилучший фильтр может быть представлен формулой

Может случиться, что это выражение окажется слишком сложным и мы будем заинтересованы в нахождении каких-либо несложных приближений к Легко видеть, что нахождение таких приближений равносильно задаче об аппроксимации функции у в функциональном пространстве с квадратичной метрикой, задаваемой весовой функцией Так, например, если мы воспользуемся аппроксимацией вида

выбранной так, что

то мы получим "почти наилучший“ фильтр

для которого