Глава 4. ПРОБЛЕМА ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

4.1. Существование наиболее мощного критерия.

Теперь мы приступим к систематическому изучению проблемы проверки статистических гипотез, относящихся к случайным процессам. В настоящей главе мы покажем, что на этот случай можно перенести все основные идеи и методы классической теории Неймана — Пирсона. Под простой гипотезой, как всегда, будет пониматься гипотеза, полностью определяющая вероятностную меру в координатном пространстве 2.

Пусть нам надо проверить, является ли справедливой простая гипотеза отвечающая вероятностной мере или же альтернативная простая гипотеза отвечающая мере Как и в классической теории, для этого желательно построить критическую область уровня такую, чтобы ошибка второго рода была по возможности наименьшей. В случае конечномерной выборки этого удается достигнуть, определив так, чтобы отношение правдоподобия принимало на этой области возможно ббльшие значения. В рассматриваемом сейчас случае мы не имеем в нашем распоряжении функции плотности вероятности в 2; однако мы можем ввести аналогичное понятие, которое будет играть у нас ту же роль, что и плотность. В классическом случае обычно рассматриваются только ситуации, когда распределение вероятностей является или непрерывным, или же чисто разрывным. Как будет видно из дальнейшего, в нашем случае эти ограничения не являются существенными.

Аналитический аппарат, который мы используем для достижения цели, — это лебеговское разложение аддитивных функций множества и теорема Радона-Никодима (см. Сакс [1]). В применении к нашему случаю теорема Радона — Никодима утверждает следующее: существует множество нулевой -меры и неотрицательная функция интегрируемая

относительно меры такие, что для каждого измеримого множества выполняется соотношение

Очевидно, что играет здесь ту же роль, что и отношение правдоподобия в классическом случае. Образуем теперь множество

и определим из условия Затруднение, возникающее в том случае, если последнее уравнение относительно не имеет решения, легко устраняется так же, как и в классическом. случае (см. Крамер поэтому мы будем здесь предполагать, что такое решение существует. При этом условии будет иметь место следующая

Теорема. Критерий, отвечающий критической области является наиболее мощным критерием для гипотезы На относительно альтернативной гипотезы имеющим уровень

Для доказательства рассмотрим другое множество такое, что и обозначим

В таком случае что и доказывает теорему.