5.12. Распределение вероятностей для одного типа оценок.

Рассматривая стационарные точечные процессы с присоединенными случайными величинами, мы часто встречаемся с оценками, содержащими выражения вида Рассмотрим асимптотическое распределение этих выражений при при этом, не стремясь к наибольшей общности, мы будем предполагать, что случайные величины являются взаимно независимыми величинами с нулевым средним значением и одинаковой дисперсией . Предположим, далее, что (сходимость по вероятности) при . В таком случае величина

при будет распределена асимптотически нормально с параметрами , ибо

и в силу центральной предельной теоремы

нормальная функция распределения). В самом деле, отсюда следует, что для любого существует такое целое число что

Выберем теперь столь большим, что В таком случае

что и доказывает сделанное утверждение.

Если отношение стремится к нулю при то сумма будет распределена асимптотически нормально с параметрами в силу того, что

В самом деле, случайная величина имеет среднее значение 1 и дисперсию и следовательно, при сходится по вероятности к 1. В силу теоремы § 20.6 книги Крамера [4] отсюда сразу следует нужный нам результат.

Далее, величина распределена асимптотически нормально с параметрами что доказывается аналогично предыдущему утверждению, исходя из равенства