Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
5.12. Распределение вероятностей для одного типа оценок.
Рассматривая стационарные точечные процессы с присоединенными случайными величинами, мы часто встречаемся с оценками, содержащими выражения вида Рассмотрим асимптотическое распределение этих выражений при при этом, не стремясь к наибольшей общности, мы будем предполагать, что случайные величины являются взаимно независимыми величинами с нулевым средним значением и одинаковой дисперсией . Предположим, далее, что (сходимость по вероятности) при . В таком случае величина
при будет распределена асимптотически нормально с параметрами , ибо
и в силу центральной предельной теоремы
нормальная функция распределения). В самом деле, отсюда следует, что для любого существует такое целое число что
Выберем теперь столь большим, что В таком случае
что и доказывает сделанное утверждение.
Если отношение стремится к нулю при то сумма будет распределена асимптотически нормально с параметрами в силу того, что
В самом деле, случайная величина имеет среднее значение 1 и дисперсию и следовательно, при сходится по вероятности к 1. В силу теоремы § 20.6 книги Крамера [4] отсюда сразу следует нужный нам результат.
Далее, величина распределена асимптотически нормально с параметрами что доказывается аналогично предыдущему утверждению, исходя из равенства
Рассмотрим асимптотическое распределение этих выражений при 
при этом, не стремясь к наибольшей общности, мы будем предполагать, что случайные величины 
являются взаимно независимыми величинами с нулевым средним значением и одинаковой дисперсией 
. Предположим, далее, что 
(сходимость по вероятности) при 
. В таком случае величина
будет распределена асимптотически нормально с параметрами 
, ибо
нормальная функция распределения). В самом деле, отсюда следует, что для любого 
существует такое целое число 
что 
столь большим, что 
В таком случае
то сумма 
будет распределена асимптотически нормально с параметрами 
в силу того, что
имеет среднее значение 1 и дисперсию и следовательно, при 
сходится по вероятности к 1. В силу теоремы § 20.6 книги Крамера [4] отсюда сразу следует нужный нам результат.
распределена асимптотически нормально с параметрами 
что доказывается аналогично предыдущему утверждению, исходя из равенства
