5.13. Аппроксимация оценок.

Укажем теперь один относящийся к теории оценок результат, аналогичный приведенному в § 4.12. Ранее для того, чтобы иметь дело лишь с регулярным случаем, мы предполагали, что все распределения абсолютно непрерывны относительно Потребуем еще, чтобы эта непрерывность была равномерной относительно . В таком случае, если оценка а и

где правую часть мы будем предполагать непрерывной функцией а, то нашу оценку а можно аппроксимировать оценкой зависящей лишь от конечного числа координат. Эта аппроксимация будет равномерной для

С этой целью рассмотрим случайную величину

В таком случае

при Но

где в соответствии с условиями, наложенными на в § 5.1, правая часть стремится к нулю при Таким образом,

является непрерывной функцией а. В силу теоремы Дини сходимость, о которой мы говорили выше, будет равномерной, т. е. для любого будет существовать такое, что

Рассмотрим теперь случайную величину

При стремящемся к бесконечности, величина будет стремиться к с вероятностью 1. Введем теперь в рассмотрение множество

Тогда

Но при следовательно, в силу равномерной абсолютной непрерывности относительно мы будем иметь

Используя неравенство треугольника, получаем желаемый результат:

если выбраны достаточно большими. Таким образом, мы получили оценку, зависящую от конечного числа координат, среднее значение и дисперсия которой могут быть сделаны равномерно по сколь угодно близкими к среднему значению и дисперсии оценки

Отсюда вытекает, что если мы будем пользоваться лишь оценками, зависящими от конечного числа координат, причем будем выбирать каждый раз наилучшую из таких оценок (которую мы обозначим через то при достаточно большом оценка будет практически столь же хорошей, как и любая оценка, зависящая от всех координат процесса.