Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.10. Критерий метрической транзитивности.Понятие метрической транзитивности весьма важно для построения теории оценок для стационарных случайных процессов. В этой связи могут оказаться полезными результаты Дуба [2], рассмотревшего случай марковских процессов. Мы здесь дадим два других критерия метрической транзитивности. Теорема. Для того чтобы стационарный нормальный процесс с непрерывной корреляционной функцией При доказательстве этой теоремы мы будем исходить из соображений, содержащихся в работах Дуба [1] и Ито [1]. Предположим, что наш процесс D-интегрируем, и пусть
где конечномерных интервалов так, чтобы выполнялись соотношения -
где
Эти случайные величины, очевидно, имеют
где матрица А не зависит от
где
Используя, далее, обычные рассуждения (см., например, Хопф [1], стр. 130), получаем
и, следовательно,
Поэтому существует последовательность
В силу теоремы Лебега об ограниченной сходимости отсюда получаем
Таким образом, для больших значений
Но это неравенство может выполняться при сколь угодно малых Для того чтобы показать, что это условие также и необходимо, рассмотрим процесс
Мы знаем, что предел
всегда почти наверное существует и что его дисперсия равна
Но согласно Крамеру [1] последнее выражение может быть преобразовано к виду
где Если не предполагать, что процесс является нормальным, то значение корреляционной функции не определяет еще полностью распределений вероятностей для процесса. Тем не менее и в этом случае возможно дать критерий метрической транзитивности, являющейся по существу обобщением критерия, данного выше. Мы будем говорить, что
Известно, что из наличия перемешивания вытекает метрическая транзитивность, но обратное утверждение неверно (Хопф [1]). Предшествующая теорема показывает, что если процесс не имеет точечного спектра, то он является метрически транзитивным. Спектральная функция такого процесса, очевидно, может состоять из абсолютно непрерывной и сингулярной компонент. Если также отсутствует и сингулярная компонента, то, как показал Ито, в нормальном случае процесс будет процессом с перемешиванием. Тем не менее мы видели, что в нормальном случае процесс будет метрически транзитивным, даже если спектр содержит сингулярную компоненту. Заметим теперь, что при этом обязательно будет существовать последовательность стремящаяся к бесконечности и такая, что Процесс
Теорема. Для того чтобы стационарный случайный процесс был метрически транзитивным, необходимо и достаточно, чтобы он был процессом с частичным перемешиванием. Если
В силу эргодичности
Так как процесс предполагается D-интегрируемым и D-измеримым, то
что и завершает доказательство теоремы. Замечание. Наше определение свойства перемешиваемости накладывает некоторое условие на всевозможные измеримые множества А. Это не очень удобно для большинства приложений. Покажем теперь, что вполне достаточно ограничиться рассмотрением лишь конечномерных интервалов. Предположим, что для любой пары
Если теперь А — произвольное измеримое множество, то мы можем его аппроксимировать конечной суммой
При
и
Но
так как правая часть здесь стремится к
Но
и, следовательно,
|
1 |
Оглавление
|