5.10. Критерий метрической транзитивности.

Понятие метрической транзитивности весьма важно для построения теории оценок для стационарных случайных процессов. В этой связи могут оказаться полезными результаты Дуба [2], рассмотревшего случай марковских процессов. Мы здесь дадим два других критерия метрической транзитивности.

Теорема. Для того чтобы стационарный нормальный процесс с непрерывной корреляционной функцией был метрически транзитивным, необходимо и достаточно, чтобы спектральная функция процесса была непрерывной.

При доказательстве этой теоремы мы будем исходить из соображений, содержащихся в работах Дуба [1] и Ито [1]. Предположим, что наш процесс D-интегрируем, и пусть

где спектральная функция, которую мы предполагаем непрерывной. Если бы процесс не являлся метрически транзитивным, то существовало бы множество инвариантное относительно всех сдвигов и такое, что Аппроксимируем это 5 конечной суммой

конечномерных интервалов так, чтобы выполнялись соотношения -

где заранее заданное положительное число. Ясно, что все входящие в интервалы можно предполагать имеющими конечные длины сторон. Пусть Обозначим через моменты времени, такие, что все конечномерные интервалы, входящие в определяются через значения процесса в эти моменты времени, и положим

Эти случайные величины, очевидно, имеют -мерное нормальное распределение вероятностей со следующей матрицей вторых моментов

где матрица А не зависит от Но легко видеть, что из непрерывности спектральной функции вытекает, что никакая матрица вторых моментов такого вида не может быть сингулярной. Считая достаточно большим, мы будем иметь

где квадратичная форма относительно матрица которой обратна Обозначим все числа вида

через . В таком случае в силу абсолютной интегрируемости будем иметь

Используя, далее, обычные рассуждения (см., например, Хопф [1], стр. 130), получаем

и, следовательно,

Поэтому существует последовательность стремящаяся к бесконечности при такая, что и

В силу теоремы Лебега об ограниченной сходимости отсюда получаем

Таким образом, для больших значений

Но это неравенство может выполняться при сколь угодно малых только, если или что противоречит сделанным предположениям. Тем самым достаточность условия нашей теоремы доказана.

Для того чтобы показать, что это условие также и необходимо, рассмотрим процесс Поскольку нормальные распределения вероятностей имеют конечные моменты четвертого порядка, этот процесс будет иметь конечную дисперсию, причем нетрудно подсчитать, что

Мы знаем, что предел

всегда почти наверное существует и что его дисперсия равна

Но согласно Крамеру [1] последнее выражение может быть преобразовано к виду

где скачки спектральной функции в ее точках разрыва. Поэтому для метрической транзитивности необходимо, чтобы функция была непрерывной, что и завершает доказательство нашей теоремы.

Если не предполагать, что процесс является нормальным, то значение корреляционной функции не определяет еще полностью распределений вероятностей для процесса. Тем не менее и в этом случае возможно дать критерий метрической транзитивности, являющейся по существу обобщением критерия, данного выше.

Мы будем говорить, что является процессом с перемешиванием, если для каждой пары измеримых множеств выполняется соотношение

Известно, что из наличия перемешивания вытекает метрическая транзитивность, но обратное утверждение неверно (Хопф [1]). Предшествующая теорема показывает, что если

процесс не имеет точечного спектра, то он является метрически транзитивным. Спектральная функция такого процесса, очевидно, может состоять из абсолютно непрерывной и сингулярной компонент. Если также отсутствует и сингулярная компонента, то, как показал Ито, в нормальном случае процесс будет процессом с перемешиванием. Тем не менее мы видели, что в нормальном случае процесс будет метрически транзитивным, даже если спектр содержит сингулярную компоненту. Заметим теперь, что при этом обязательно будет существовать последовательность стремящаяся к бесконечности и такая, что Это обстоятельство, естественно, приводит к следующему ослабленному понятию перемешивающихся процессов:

Процесс называется процессом с частичным перемешиванием, если для каждого измеримого множества А существует такая последовательность (зависящая от А), что

Теорема. Для того чтобы стационарный случайный процесс был метрически транзитивным, необходимо и достаточно, чтобы он был процессом с частичным перемешиванием.

Если процесс с частичным перемешиванием, то можно точно так же, как выше, доказать, что он обязательно будет метрически транзитивным. Таким образом, надо только доказать необходимость нашего условия. Выберем произвольное множество А, и пусть - характеристическая функция множества т. е. функция, равная единице при и нулю при Тогда будет стационарным случайным процессом с корреляционной функцией

В силу эргодичности

Так как процесс предполагается D-интегрируемым и D-измеримым, то будет непрерывной функцией например, Хопф [1]). Функция при этом либо будет иметь стремящуюся к бесконечности последовательность нулей, либо будет при всех иметь один и тот же знак. В обоих случаях можно найти последовательность такую, что

что и завершает доказательство теоремы.

Замечание. Наше определение свойства перемешиваемости накладывает некоторое условие на всевозможные измеримые множества А. Это не очень удобно для большинства приложений. Покажем теперь, что вполне достаточно ограничиться рассмотрением лишь конечномерных интервалов. Предположим, что для любой пары конечномерных интервалов выполняется условие

Если теперь А — произвольное измеримое множество, то мы можем его аппроксимировать конечной суммой непересекающихся интервалов так, что

При

и

Но

так как правая часть здесь стремится к при то, очевидно,

Но

и, следовательно,