4.10. Критерии для точечных процессов.

На практике весьма часто приходится иметь дело со случайными точечными процессами. Ниже мы рассмотрим некоторые специальные задачи о проверке гипотез, относящихся к таким процессам. Пусть нестационарный обобщенный пуассоновский процесс (с переменной интенсивностью), интенсивность которого равна согласно гипотезе и равна согласно гипотезе Предположим, что этот процесс наблюдается в течение интервала времени Используя в качестве координат величины мы легко получим следующую функцию правдоподобия:

Отсюда вытекает, что наилучшая критическая область здесь задается условием

При этом мы предположили, что на множестве, на котором функция почти всюду отлична от нуля. В противном случае мы имели бы сингулярную часть которая при указанном предположении не может появиться, так как никакие вопросы о сходимости здесь не возникают (ибо у нас

Ограничимся теперь случаем, когда альтернативные гипотезы имеют вид:

интенсивность процесса равна

интенсивность процесса равна

Здесь мы будем иметь критическую область

и, следовательно, если ограничиться односторонними альтернативами (или, наоборот, то односторонний равномерно наиболее мощный критерий будет задаваться критической областью

Так как распределение вероятностей для разумеется, является дискретным, то возможно, что уравнение отно сительно

при заранее заданном значении не будет иметь точного решения; однако совершенно очевидно, как следует обойти это затруднение на практике, и мы на этом не будем задерживаться.

Для получения равномерно наиболее мощного несмещенного критерия мы в соответствии с § 4,3 положим

В силу выпуклости показательной функции критическая область здесь будет иметь вид

В этом случае также может оказаться, что уравнение, определяющее не имеет точного решения; однако по тем же причинам, что и выше, на этом затруднении мы не будем останавливаться.

Рассмотрим теперь случай следующих гипотез: пусть

Здесь легко показать, что наиболее мощной критической областью будет область

Поэтому для односторонних альтернатив равномерно наиболее мощный критерий получается при следующем выборе критической области:

Так как имеет непрерывное распределение вероятностей, то в этом случае определение точного значения отвечающего заданному уровню осуществляется без всяких затруднений.

Рассмотрим еще случай, когда процесс Пойя (Лундберг с параметром определенный на интервале Здесь условная "интенсивность процесса" (при условии, что до момента произошло ровно событий) равна

Пусть мы хотим проверить, верна ли гипотеза или же принимает некоторое определенное положительное значение. Составим прежде всего выражение для "функции плотности",

отвечающей координатам где

Таким образом,

где мы положили Преобразовав второй член в правой части равенства, мы получим

Это выражение справедливо при если же то, очевидно,

В случае же, когда справедлива гипотеза

Следовательно,

где при произведению в правой части следует при» писать значение 1. Вспомним теперь, что наиболее мощная область имеет вид

Поскольку является выпуклой функцией линейной, то наилучшая область имеет вид

где Таким образом, нам следует отвергнуть гипотезу если принимает слишком маленькое или слишком большое значение, — результат, представляющийся совершенно естественным, так как

Любопытно отметить, что полученный критерий использует только число происшедших событий; расположение же моментов возникновения этих событий на оси времени не используется вовсе. Поэтому, зная только мы можем сделать столь же обоснованное заключение, как и в том случае, когда известны также все величины