1.2. Случайные процессы.

Пусть вся вещественная ось или какая-нибудь ее часть. Предположим, что во все моменты времени, входящие в мы наблюдаем некоторую величину, зависящую от времени и включающую тем или иным способом какую-то случайную компоненту. Повторив наш эксперимент большое число раз, мы получим совокупность функций, заданных на Идеализированный образ

такой совокупности функций вместе с заданной на нем вероятностной мерой, которую мы более точно определим ниже, называется случайным процессом. Отдельные элементы нашей совокупности называются реализациями или выборочными функциями рассматриваемого случайного процесса.

Существуют по меньшей мере три различные точки зрения, с которых можно подходить к более строгому определению случайного процесса. Рассмотрим наблюдаемую величину в фиксированный момент времени Результат большого числа экспериментов может быть в таком случае описан обычным образом с помощью понятия случайной величины — в данном случае величины, которую мы будем обозначать через опуская по установившейся традиции знак переменной Позже мы увидим, что эти случайные величины удобно рассматривать как точки некоторого абстрактного пространства, разумеется, отличного от "пространства элементарных событий 2, на котором случайные величины определены. При пробегающем все значения из мы получаем однопараметрическое семейство случайных величин, т. е. кривую в нашем новом абстрактном пространстве. Эта кривая и будет в таком случае называться случайным процессом.

Второй подход состоит в фиксировании определенной реализации, рассматриваемой как функция от Отметим эту реализацию индексом и обозначим через функциональное пространство всех вещественных функций на . В таком случае мы можем определить случайный процесс как семейство вещественных функций, зависящих от параметра ).

Возможность двух указанных выше существенно различных подходов связана с тем обстоятельством, что значения случайного процесса на самом деле являются функциями двух переменных: времени и номера реализации Отсюда вытекает третья возможность определения процесса как функции двух переменных где при фиксированном должно быть измеримой функцией (т. е. случайной величиной).