4.11. Случай марковского стационарного процесса.

В § 4.4-4.7 мы видели, как строятся наилучшие критерии для проверки гипотезы о среднем значении нормального процесса, К сожалению, критерии эти лишь в исключительных случаях определяются простейшим образом по одной величине . В некоторых случаях, однако, можно получить более простые формы критерия, соответствующим образом подобрав выборочное пространство. Именно так обстоит дело в случае нормальных процессов, являющихся, по-видимому, наиболее часто встречающимися на практике, а именно — в случае стационарных марковских нормальных процессов.

Пусть такой процесс со средним значением и корреляционной функцией

Предположим, что мы хотим проверить гипотезу сравнив ее, например, с альтернативной гипотезой о том, что принимает некоторое определенное значение, отличное от нуля. Покажем, что соответствующая последовательность функций в этом случае не будет сходиться ни к какой функции из Будем считать, что Ядро в нашем случае является положительно определенным. Это можно показать, основываясь на соображениях, аналогичных тем, с помощью которых мы чуть ниже докажем расходимость последовательности Следовательно, если только сходится в среднем квадратичном к функции то для всех должно выполняться равенство

Отсюда после дифференцирования вытекает, что для почти всех

Сократив последнее равенство на и вычитая это равенство из предыдущего, найдем

Так как обе стороны здесь являются непрерывными функциями, то это равенство должно выполняться при всех значит,

для почти всех Но эта функция не удовлетворяет нашему исходному интегральному уравнению, откуда и вытекает, что интересующая нас функция вовсе не существует.

Покажем теперь, что здесь возможно построить совсем простой наилучший критерий. С этой целью мы выберем в качестве выборочного пространства пространство всех непрерывных функций, заданных на Это законно в силу результатов § 1.4. В качестве координат мы будем использовать значения где счетная последовательность точек, всюду плотная на Удобно, например, выбрать далее, и т. д., добавляя все новые и новые точки посередине между уже использованными. Нам надо определить плотность распределения вероятностей значений при гипотезе Для этого мы изменим порядок точек перенумеровав их в порядке следования на временной оси, и обозначим (с учетом нашей новой нумерации)

В таком случае мы будем иметь

и, следовательно,

Если велико, то будет малой, значит,

Учитывая, что реализаций нашего процесса непрерывны, при мы почти наверное будем иметь

Таким образом, рассматриваемый здесь случай является регулярным. Поэтому, как и выше, мы можем заключить, что имеется следующий простой равномерно наиболее мощный критерий для сравнения с односторонними альтернативами

Равномерно наиболее мощный несмещенный критерий может быть получен аналогичным образом. К процессу рассмотренному в настоящем параграфе, мы еще вернемся в главе об оценках.