Глава 5. ПРОБЛЕМА НАХОЖДЕНИЯ ОЦЕНОК

5.1. Несмещенные оценки.

Предположим теперь, что нам известно, что вероятностная мера, задающая процесс принадлежит семейству где а — вещественный параметр, значения которого заполняют конечный интервал Для того чтобы избежать сингулярного случая, мы заранее предположим, что ни для каких двух значений не существует множества такогог что Пусть нам требуется на основании наблюденной реализации процесса решить, чему равно истинное значение а, т. е., иначе говоря, требуется построить функцию оценивающую а. Для любого множества

где мера, отвечающая фиксированному значению Рассмотрим теперь функцию правдоподобия как случайный процесс, зависящий от параметра а (играющего в этом случае роль времени) и задаваемый вероятнрстной мерой Среднее значение этого процесса, очевидно, равно

Примем естественное предположение, что процесс непрерывен в среднем и имеет конечную дисперсию. Обозначая мы можем ввести в рассмотрение корреляционную функцию этого процесса:

Пусть интегральное уравнение с таким ядром имеет собственные значения и собственные функции . В таком

случае при любом

где ортонормированная система в а сходимость в среднем понимается относительно меры

Рассмотрим теперь вопрос о существовании несмещенной оценки конечной дисперсии, т. е. функции такой, что

при любом Если система не полна в (где за меру в 2 принято то мы добавим к ней дополнительную ортонормальную систему

Любую оценку с указанными выше свойствами мы можем разложить в сходящийся в среднем (относительно ряд по функциям

Отсюда следует, что

Здесь ряд в правой части сходится равномерно, так как

является непрерывной функцией Поэтому этот ряд можно умножить на и почленно проинтегрировать, что при водит к результату

Отсюда видно, что в случае существования несмещенной оценки конечной дисперсии должно выполняться условие

Предположим для простоты, что система является полной в . В таком случае условие будет также достаточным для существования несмещенной оценки конечной дисперсии. В самом деле, положим

где — произвольные вещественные числа, удовлетворяющие условию Ясно, что при этом условии выписанный ряд будет сходиться в среднем относительно и

Пользуясь тем же методом, что и прежде, мы можем показать, что для всех Таким образом, будет несмещенной оценкой а.

Полученные результаты могут быть сформулированы следующим образом:

Для существования несмещенной оценки конечной дисперсии необходимо условие

Если система является полной, то из этого условия вытекает существование целого семейства несмещенных оценок, имеющего размерность, совпадающую с размерностью пространства

Если существует больше чем одна несмещенная оценка и есть основание думать, что истинное значение параметра а лежит вблизи то представляется естественным выбрать ту из оценок, которая имеет наименьшую дисперсию . В некоторых случаях удается даже найти в классе несмещенных оценок такую, что ее дисперсия оказывается наименьшей при любом значении а.

Описанный метод построения оценок удобен теоретически (в частности, тем, что он допускает дальнейшее развитие), но мало приспособлен для использования в практических приложениях; некоторые практически более удобные приемы нахождения оценок будут указаны в последующих параграфах. Здесь же мы ограничимся тем, что рассмотрим один простой пример, приводящий к методу построения оценки, применимому в некоторых специальных случаях. Рассмотрим процесс Пуассона (см. § 4.10) на интервале с постоянной интенсивностью (3. Пусть нам требуется найти несмещенную оценку параметра имеющую наименьшую дисперсию. Полагая мы будем иметь

так что при принимающем значения из некоторого интервала, должно выполняться равенство

Условная функция плотности для величин при известном равна

что величина не зависит от Так как является целой функцией переменного , то, приравнивая коэффициенты ряда Тейлора, мы найдем

Но

Так как

то второй член в правой части обращается в нуль. Отсюда ясно, что здесь имеется единственная несмещенная оценка наименьшей дисперсии, для получения которой надо только выбрать так, чтобы первый член (который, разумеется, не может быть отрицательным) обратился в нуль, т. е.