4.6. Продолжение: случай многих альтернатив.

Перейдем теперь к рассмотрению случая сложной гипотезы; при этом мы ограничимся одним лишь регулярным случаем. Пусть сравниваются гипотезы

Если то в силу сказанного выше наилучшей критической областью, отвечающей данному значению , будет область

Отсюда видно, что для того, чтобы существовала равномерно наиболее мощная область, должно выполняться равенство

где функция имеет постоянный знак. Если это так, то мы получаем критерий

где и предполагается, что если же то знак следует заменить на . Этот критерий является поэтому односторонним и оказывается равномерно наиболее мощным лишь относительно альтернатив (или же

Постараемся теперь построить равномерно наиболее мощный несмещенный критерий для сравнения гипотез

Здесь, очевидно,

Полагая теперь (так что -нормально распределенная случайная величина), мы найдем, что при

Так как правая часть последнего неравенства имеет конечное среднее значение, то предположения, введенные в § 4.3, здесь оказываются выполненными. Воспользовавшись описанным там методом, мы получаем критическую область

Отсюда точно так же, как и в классическом случае (Крамер [4], стр. 580—581), выводится следующий равномерно наиболее мощный несмещенный критерий: