4.6. Продолжение: случай многих альтернатив.
Перейдем теперь к рассмотрению случая сложной гипотезы; при этом мы ограничимся одним лишь регулярным случаем. Пусть сравниваются гипотезы
Если
то в силу сказанного выше наилучшей критической областью, отвечающей данному значению
, будет область
Отсюда видно, что для того, чтобы существовала равномерно наиболее мощная область, должно выполняться равенство
где функция
имеет постоянный знак. Если это так, то мы получаем критерий
где
и предполагается, что
если же
то знак следует заменить на
. Этот критерий является поэтому односторонним и оказывается равномерно наиболее мощным лишь относительно альтернатив
(или же
Постараемся теперь построить равномерно наиболее мощный несмещенный критерий для сравнения гипотез
Здесь, очевидно,
Полагая теперь
(так что
-нормально распределенная случайная величина), мы найдем, что при
Так как правая часть последнего неравенства имеет конечное среднее значение, то предположения, введенные в § 4.3, здесь оказываются выполненными. Воспользовавшись описанным там методом, мы получаем критическую область
Отсюда точно так же, как и в классическом случае (Крамер [4], стр. 580—581), выводится следующий равномерно наиболее мощный несмещенный критерий: