5.11. Приложения.

Применим теперь метод максимума правдоподобия к двум простым специальным стационарым случайным процессам. Пусть стационарный, нормальный, марковский процесс со средним значением, равным и корреляционной функцией Мы знаем, что спектральная функция этого процесса абсолютно непрерывна и, следовательно, он является метрически транзитивным. Функция правдоподобия здесь равна

и ей отвечает оценка по методу максимума правдоподобия

которая, таким образом, является состоятельной и асимптотически эффективной оценкой параметра . В данном случае этот результат не дает нам ничего нового, поскольку еще в § 5.6 мы видели, что оценка является эффективной даже при конечных значениях

Рассмотрим теперь процесс, о котором шла речь в § 4.9. Этот процесс также является стационарным и марковским и имеет ту же корреляционную функцию но так как

он не является нормальным, то доказательство его метрической транзитивности не может быть тем же, что и в предыдущем случае. Рассмотрим вместо этого интервал определяемый значениями процесса в моменты времени и другой интервал , определяемый значениями в моменты Пусть большое положительное число. В таком случае

где 0 означает условие, что в течение интервала времени не произошло ни одного изменения значения процесса, что произошло хоть одно изменение. Тогда

Но

откуда в силу замечания в конце предыдущего параграфа сразу следует, что процесс является метрически транзитивным. Оценка наибольшего правдоподобия имеет здесь следующий простой вид:

ее можно рассматривать как интеграл от значения процесса с весовой функцией, зависящей от реализации. Эта оценка является несмещенной, так как

Легко подсчитать ее дисперсию:

И так как

то эффективность этой оценки равна

При эта эффективность равна 1, а при увеличении она сперва уменьшается, но при больших снова стремится к 1. Если же мы захотим воспользоваться наилучшей линейной оценкой параметра то должны будем за принять величину

Дисперсия этой линейной оценки равна

так что ее эффективность дается формулой

При очевидно, следовательно, наши две оценки должны совпасть. Действительно, при с вероятностью 1, так что точно так же и при в силу самого выражения для Если же то, очевидно,

Среднеарифметическая оценка

имеет дисперсию, которая при больших задается соотношением

и, следовательно, ее асимптотическая эффективность равна

Таким образом, используя среднеарифметическую или даже наилучшую линейную оценку, мы в обоих случаях при больших теряем 50% эффективности.