4.2. Построение наиболее мощного критерия.

Теорема предыдущего параграфа имеет характер теоремы существования. Теперь мы перейдем к построению множества и функции Для того чтобы не усложнять доказательства, мы предположим, что распределения вероятностей в пространстве конечного чйсла координат все относятся к

непрерывному типу, т. е. задаются функциями плотности или, соответственно, (в зависимости от того, справедлива ли гипотеза или Рассмотрим отдельно три имеющиеся возможности.

А. Предположим, что Этот случай мы будем называть регулярным. Выберем произвольное цилиндрическое множество определяемое условием, что точка принадлежит заданному множеству Пусть

(если в этом выражении и числитель и знаменатель обра щаются в нуль, то мы будем считать, что . В таком случае

Согласно определению условного математического ожидания (см. § 1.1)

почти наверное относительно . В силу теоремы Леви, обобщенной Дубом (см. Дуб [3]), мы имеем

почти наверное относительно а следовательно, и относительно (так как ).

Б. Предположим теперь, что Так как то множество можно покрыть счетной суммой непересекающихся конечномерных интервалов координатного пространства такой, что Поскольку

то существует целое число такое, что Отсюда

Выберем ббльшим номера наибольшей координаты, используемой при определении интервалов . В таком случае множество

будет цилиндрическим множеством с основанием следовательно,

Так как при любом заданном правая часть здесь может быть сделана сколь угодно малой, то отсюда вытекает, что при на множестве (в смысле сходимости по вероятности относительно

Рассмотрим теперь вероятностную меру

(это возможно, так как . В таком случае следовательно, плотность меры в точке

равна

в силу того, что

(последнее равенство справедливо для любого множества в силу самого определения условного распределения вероятностей). Так как случай проверки относительно альтернативной гипотезы уже является регулярным, то мы можем воспользоваться доказанным выше результатом, согласно которому почти наверное

Но если то почти наверное относительно

(см. Дуб [1]); тем самым мы доказали, что на почти наверное относительно

Если существует множество на котором не выполняется последнее равенство, то можно утверждать, что Если теперь то мы можем воспользоваться нашим предыдущим результатом (который мы теперь применяем к взятым в обратном порядке) и заключить, что на

(сходимость по вероятности относительно ), т. е. что на при

по вероятности относительно Но на очевидно, почти наверное относительно так что в смысле сходимости по вероятности на этом множестве

В. Предположим, наконец, Мы уже видели, что сходится к по вероятности относи тельно Легко показать, что сходится к по вероятности относительно

Суммируя все полученные результаты, мы приходим к вы? воду, что:

относительно последовательность сходится по вероятности к

относительно последовательность сходится по вероятности к на

относительно последовательность сходится по вероятности к на

Далее, как обычно, мы можем выбрать подпоследовательность сходящуюся почти наверное относительно обеих мер к на и к на . В таком случае мы будем иметь

В приложениях обычно по тем или иным причинам удается обойтись без выбора подпоследовательности Так, например, для широкого класса приложений координаты могут быть выбраны таким образом, чтобы они были нег зависимыми случайными величинами; в этом случае согласно закону нуля или единицы последовательность сходится с вероятностью 0 или . Таким образом, здесь мы всегда будем иметь дело или с регулярным случаем А, или же с крайним сингулярным случаем В. Другой важный случай представляют собой точечные процессы; для них не будет за? висеть от как только превзойдет первую координату такого процесса, так что и здесь вопрос о сходимости этой последовательности не связан ни с какими затруднениями.

В дальнейшем почти все примеры, которые нам встретятся, будут относиться к регулярному случаю.