4.3. Критерии в случае многих альтернатив.

В предыдущих параграфах мы показали, как строится наиболее мощная критическая область в случае проверки одной простой гипотезы относительно другой такой же гипотезы. На практике, однако, встречаются и более сложные ситуации. Соответственно этому было предложено несколько различных типов критических областей. При этом, разумеется, возникают некоторые новые вопросы; существенно, однако, подчеркнуть, что основную трудность, связанную с пере несением понятия наилучшей критической области на бесконечномерный случай, мы уже преодолели в параграфах 4.1 и 4,2. Поэтому здесь мы лишь вкратце остановимся еще на двух случаях.

Предположим, что мы опять хотим проверить простую гипотезу но теперь уже ей противопоставляется целое семейство На простых альтернативных гипотез. Мы будем считать, что а — вещественный параметр, который можно нормировать так, что значение отвечает гипотезе

Зафиксируем некоторое значение а и построим наилучшую критическую область для проверки гипотезы относительно альтернативной гипотезы На, отвечающую заданному уровню Если окажется, что при всех рассматриваемых значениях а мы получаем одну и ту же область 5, то критерий, отвечающий этой области 5, будем называть равномерно наиболее мощным. К сожалению, так бывает довольно редко; исключением являются некоторые "односторонние альтернативы", в которых а принимает значения только одного знака.

В классическом случае иногда при отсутствии равномерно наиболее мощного критерия удается найти равномерно наиболее мощный несмещенный критерий. Нетрудно видеть, как, используя результаты § 4,1 и 4,2, можно пере нести это понятие на наш случай. Предположим для простоты, что сингулярное множество отсутствует, В этом

случае, если производная почти наверное существует и равномерно ограничена, так что

для всех где функция интегрируема относительно то в качестве критической области мы примем множество

Предположим, что эта область не зависит от а и что постоянные с и Можно подобрать так, чтобы выполнялись равенства

В таком случае, если другая несмещенная область того же уровня, то

Отсюда видно, что 5 здесь действительно является равномерно наиболее мощной несмещенной областью.