1.3. Случайные процессы как семейства случайных величин.

Случайные процессы, рассматриваемые с первой точки зрения, обычно характеризуются прежде всего своими

моментами первых двух порядков. Предположим, что при всех и введем в рассмотрение величины

В таком случае называется средним значением процесса, а его корреляционной функцией. Рассматривая вместо процесс мы можем предполагать заранее, что

Образуем всевозможные линейные комбинации

с вещественными коэффициентами замкнем совокупность этих комбинаций в смысле сходимости в среднем. Если мы определим теперь скалярное произведение как

то получим гильбертово пространство Отсюда вытекает возможность применения в теории случайных процессов методов теории гильбертовых пространств; систематически это впервые использовал Карунен!). Отметим еще, что при таком подходе в ряде отношений более удобно рассматривать сразу случайные процессы, принимающие комплексные значения, и задавать при этом скалярное произведение равенством

Если для каждого вещественная функция оказывается измеримой по Лебегу, то процесс мы будем называть -измеримым. Если, кроме того, для каждого функция интегрируема по Лебегу на и величина

имеет конечное значение, то в существует единственный элемент X, удовлетворяющий соотношению

В этом случае процесс называется -интегрируемым на а А называется -интегралом от по (Карунен [3], теорема 5),

Если — непрерывная в точке функция то процесс называется непрерывным в среднем в этой точке. Если такая непрерывность имеет место для всех точек то процесс называется непрерывным в среднем на

Предположим, что процесс непрерывен в среднем на конечном интервале Если при то можно показать, что выражение

при будет стремиться в среднем к определенной случайной величине не зависящей от того, как именно выбираются точки Случайная величина называется при этом С-интегралом от по

(Крамер [2], лемма 3).

Процесс непрерывный в среднем на очевидно, является также и -измеримым, причем из неравенства Шварца вытекает, что в этом случае

является конечным. Таким образом, наш процесс К-интегри-руем на и имеет однозначно определенный К-интеграл. Но так как суммы к их предел принадлежат и

так как из сходимости в среднем вытекает слабая сходи мость, то

Поскольку функция непрерывна, то она интегрируема в обычном (римановом) смысле; следовательно,

откуда видно, что в этом случае два приведенных выше определения интеграла совпадают между собой.

Предположим, что процесс имеет нулевое среднее значение и конечную дисперсию при любом Если для любых двух непересекающихся интервалов и выполняется соотношение

то процесс называется процессом с некоррелированными (или ортогональными) приращениями. В таком случае

является неубывающей функцией Пусть, далее, -вещественная функция такая, что . В таком случае интеграл можно определить как предел (в среднем) обычных интегральных сумм Римана — Стильтьеса (Карунен [3]). Аналогично определяется этот интеграл и в случае комплексного процесса с некоррелированными приращениями.

Карунен теорема 10, несколько более общая, чем приведенное ниже утверждение) доказал следующую важную теорему о представлений случайных процессов. Пусть случайный процесс (принимающий комплексные

значения) с нулевым средним значением и корреляционной функцией представимой в виде

где некоторая мера на вещественной оси такая, что вся ось может быть разбита на не более чем счетное число множеств конечной -меры, функция двух переменных с интегрируемым по квадратом модуля при любом фиксированном . В таком случае существует процесс с некоррелированными приращениями такой, что

Если непрерывный в среднем случайный процесс с нулевым средним значением имеет корреляционную функцию зависящую лишь от разности то этот процесс называется стационарным в широком смысле. Согласно известной теореме Хинчина [1] в таком случае существует ограниченная неубывающая функция такая, что

В силу указанной теоремы Карунена сам процесс при этом допускает представление вида

(ср. Крамер [3]), где комплексный процесс с некоррелированными приращениями. Далее мы можем воспользоваться "эргодической теоремой в среднем (Хопф [1], стр. 138—1392)), согласно которой выражение

при стремится в среднем к определенной случайной величине При этом

так что для того, чтобы х было тождественным нулем, необходимо и достаточно, чтобы в точке не была сосредоточена конечная спектральная масса.

Рассмотрим теперь произвольный вещественный процесс непрерывный в среднем на конечном интервале и имеющий нулевое среднее значение; пусть его корреляционная функция. Так как эта корреляционная функция всегда является неотрицательно определенной, то, рассмотрев интегральное уравнение

и применив теорему Мерсера, мы получим представление

где ряд в правой части сходится равномерно. В этом представлении собственные функции рассматриваемого интегрального уравнения, соответствующие собственные значения. Согласно общей теореме Карунена о представлении случайных процессов отсюда вытекает, что допускает представление

где — случайные величины такие, что

и ряд справа сходится в среднем квадратичном при любом (см. также Карунен [1]). В дальнейшем во всех случаях, где не оговорено противное, мы будем предполагать, что ядро является невырожденным, т. е. что при всех

Еще одно представление случайных процессов определенного типа может быть получено следующим образом. Пусть процессе некоррелированными приращениями и ограниченной дисперсией, т. е. такой, что

а мера на оси — определяемая обычным образом посредством неубывающей функции Совокупность всех функций на с интегрируемым по а квадратом модуля образует гильбертово пространство со скалярным произведением

Выберем в этом пространстве полную ортонормированную систему функций Пусть функция, равная 1 при и равная 0 при . В таком случае из полноты системы функций и равенства Парсеваля следует, что

Но ведь корреляционная функция процесса с некоррелированными приращениями, так что в силу теоремы Карунена существует последовательность случайных величин такая, что

и

Если, в частности, о — это мера, совпадающая с обычной мерой Лебега на интервале и обращающаяся в нуль вне этого интервала, а в качестве полной

ортонормированной системы функций выбрана система на интервале то мы получим представление

где штрих при знаке суммирования означает, что член с в рассматриваемой сумме должен быть опущен. При дополнительном предположении о том, что рассматриваемый случайный процесс является нормальным, т. е. что все отвечающие ему многомерные распределения вероятностей являются нормальными распределениями, наша случайная функция будет случайной функцией Винера (Пейли, Винер [1]).

Производную случайного процесса можно определить или как сильный, или как слабый предел выражения при стремящемся к нулю. Последнее определение оказывается, вообще говоря, весьма удобным при рассмотрении линейных дифференциальных уравнений. Исходя отсюда, можно показать, например, что уравнение Ланжевена

где — постоянная, процесс Эйнштейна — Смолуховского, имеет следующее решение;

То же решение было получено Дубом исходя из другой интерпретации этого дифференциального уравнения. Как известно, при некоторых дополнительных условиях это решение оказывается стационарным нормальным марковским процессом.

До сих пор мы все время предполагали дисперсию процесса конечной. Если вместо этого предположить лишь, что при некотором то можно будет воспользоваться аналогичными методами. В этом случае надо

опять же составить всевозможные линейные комбинации значений процесса и замкнуть полученную совокупность, исходя из понятия сильной сходимости относительно метрики

При этом мы придем к банаховому пространству X, вложенному в Для определения интеграла от случайного процесса теперь можно воспользоваться теорией интегрирования в банаховом пространстве, развитой Петтисом [1]. Процесс мы будем называть измеримым, если для любого линейного функционала (где -пространство, сопряженное к будет измеримой в смысле Лебега функцией от Если при этом еще будет существовать однозначно определенный элемент такой, что

при любом то мы назовем процесс интегрируемым, а случайную величину интегралом этого процесса. Используя общий вид линейных функционалов (см., например, Банах [1]), мы получим метод интегрирования, который при естественно обращается в -инте-грирование.

Поскольку, однако, большинство встречающихся на практике процессов имеет конечную дисперсию, а теория, относящаяся к введенному только что пространству X, в большей своей части весьма близка к обычной теории гильбертовых пространств, мы в дальнейшем нигде не будем рассматривать процессы с неограниченной дисперсией и