6.6. Более общая задача о фильтрации.

Рассмотрим теперь следующий случай, полностью аналогичный обычной задаче о регрессии в конечномерном пространстве. Пусть - стационарные процессы с корреляционными функциями

Мы предположим, что они являются стационарно связанными с взаимной корреляционной функцией

Единственное ограничение, которое мы ввели, выписывая эту формулу, заключается в предположении о том, что нашей взаимной корреляционной функции отвечает абсолютно непрерывный спектр,

Будем считать, что нам требуется дать оценку значения при помощи линейного фильтра, действующего на процесс . Полагая

мы будем иметь

Нетрудно видеть; что. среднеквадратичная ошибка

будет наименьшей, если за мы примем функцию

В самом деле, ясно, что

так что

а наш выбор приводит к точному равенству

Функция может быть использована для построения фильтра, так как

(ср. Крамер [2], теорема 3). Средний квадрат ошибки, получаемой при использовании такого, фильтра, равен

Задача, рассматривавшаяся в § 6,5, является частным случаем рассмотренной здесь задачи. В самом деле, при наличии когерентного шума с взаимной корреляционной функцией

мы будем иметь следующие спектральные плотности:

Таким образом, здесь

При мы снова приходим к полученному выше результату.

Отметим еще, что если рассматривать как параметр» то полученные фильтры будут являться стационарными линейными преобразованиями процесса в смысле определения, предложенного Каруненс