5.3. Среднеарифметическая оценка.

В применении к стационарным процессам задача, рассмотренная в предыдущем параграфе, имеет некоторые особенности. Если точка не является точкой разрыва спектральной функции, то, как известно, оценка

которая, очевидно, является несмещенной, при сходится по вероятности к (см. § 1.3), т. е. является здесь состоятельной оценкой. Эта оценка, которую мы будем называть среднеарифметической оценкой обладает еще одним оптимальным свойством, которое будет изучено в настоящем параграфе. По-видимому, этот результат допускает дальнейшее обобщение, которое автор надеется рассмотреть в последующей работе.

Предположим, что спектральная функция процесса является абсолютно непрерывной, причем соответствующая спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена. Рассмотрим несмещенные оценки вида

Полагая здесь

найдем, что

Таким образом, функция определяет относительные веса, с которыми входят значения процесса при различных Ограничиваясь регулярным классом несмещенных оценок, отвечающим классу С всевозможных равномерно непрерывных и равномерно ограниченных на функций мы покажем сейчас, что в этом классе среднеарифметическая оценка является оценкой, имеющей асимптотически наименьшую дисперсию. Точнее говоря, если эффективность оценки

мы определим как

(это понятие эффективности отлично от того, которое используется в классической теории, так как оно использует только линейные свойства процесса), то мы покажем, что при Действительно, пусть В таком случае существует последовательность и последовательность функций такие, что для соответствующей последовательности оценок имеет место предельное соотношение

при Введем в рассмотрение функции

В таком случае

Для среднеарифметической оценки точно так же получается равенство

откуда в силу свойств ядер Фейера вытекает, что

при В силу равномерной непрерывности функций мы можем выбрать из последовательности таких функций подпоследовательность, сходящуюся к непрерывной функции Предполагая, что это уже сделано, силу теоремы Лебега об ограниченной сходимости будем иметь

при Используя, далее, теорему Планшереля, найдем

и

при Следовательно,

Но

и, выбирая далее столь малым, чтобы при выполнялось неравенство а затем столь большим, чтобы выполнялось неравенство мы получим

при Но согласно теореме Планшереля,

и, следовательно, в силу неравенства Шварца

В силу самого определения величины здесь возможным является лишь знак равенства. Тем самым сделанное утверждение доказано.

Наиболее важным выводом из этого результата является Следствие. Среда оценок вида

где не зависящая от функция на такая, что нельзя найти оценки, асимптотически более эффективной, чем среднеарифметическая оценка.

Отметим, что ограничение нельзя устранить, не ограничивая одновременно каким-либо образом класс рассматриваемых процессов. В самом деле, рассмотрим, например, процесс с корреляционной функцией Зная реализацию этого процесса на любом невырожденном интервале, мы будем знать ее также и при всех вообще значениях так как такой процесс является аналитическим по Поэтому, исходя из значений реализации на любом малом

интервале, мы можем составить выражение которое в силу непрерывности спектра процесса стремится при к истинному значению Таким образом, в данном случае среднеарифметическая оценка во всем классе линейных оценок имеет нулевую эффективность.