6.2. Прогноз как проблема регрессии.

Пусть процесс обладает свойствами, оговоренными в предыдущем параграфе, и является нормально распределенным. Примем в качестве у значение где с Вопрос о построении оценки величины по известным значениям известен как задача прогноза (или экстраполирования) процесса Естественно, что к этой задаче могут быть немедленно применены все результаты § 6.1. Представим теперь (как мы это уже несколько раз делали выше) значения в виде следующего, сходящегося в среднем ряда:

(смысл всех фигурирующих здесь величин разъяснен в § 1.3). Легко видеть, что пространство в таком случае совпадет с пространством натянутым на ортонормированную систему векторов так что для нахождения прогноза значения процесса в момент с надо только составить ряд

Но

и так как при

то естественно положить

где продолженные до точки с собственные функции интегрального уравнения с ядром Таким образом, наилучший прогноз может быть задан формулой

Это представление было предложено Каруненом, исходившим при этом из определения наилучшего прогноза как самой близкой к у точки из Для важного случая стационарного процесса наблюдаемого на полубесконечном интервале Винер [1] разработал специальный метод, позволяющий эффективно строить наилучший линейный прогноз.