5.2. Класс линейных оценок.

В предыдущем параграфе мы рассматривали случай, когда значение параметра а полностью определяет распределение вероятностей Однако часто случается, что мы не можем или же не хотим полностью задать распределения вероятностей. Тем не менее и в этом случае может оказаться возможным нахождение несмещенных оценок наименьшей дисперсии, но уже из числа оценок, принадлежащих некоторому ограниченному классу. Рассмотрим, например, следующую ситуацию: пусть мы хотим оценить среднее значение случайного процесса относительно которого известно, что он является непрерывным в среднем и имеет заданную корреляционную функцию Рассмотрим класс линейных оценок

где функция с интегрируемым квадратом на Интеграл здесь можно либо понимать в смысле § 1,3, либо же в смысле Дуба (в последнем случае мы должны выбрать такое выборочное пространство, чтобы процесс был D-интегрируемым). Для того чтобы оценка из этого класса была несмещенной, мы должны потребовать выполнения условия

В таком случае дисперсия нашей оценки будет равна

Обозначив, как обычно, через собственные значения и собственные функции интегрального уравнения с ядром (систему функций мы предполагаем полной в и воспользовавшись билинейным представлением корреляционной функции, мы получим

где

Нам надо найти минимум выражения при условии

где

Воспользовавшись неравенством Шварца, легко найдем, что при

где равенство достигается только при

Положим

и

где -последовательность некоррелированных случайных величин с нулевым средним значением и единичной дисперсией. При эта последовательность оценок, очевидно», сходится в среднем к оценке являющейся несмещенной и имеющей дисперсию , минимальную для всего рассматриваемого здесь класса линейных

оценок (см. Гренандер [1]). При желании из этой последовав тельности можно даже выделить подпоследовательность, сходящуюся почти наверное. Отметим, что предел нашей последовательности не обязательно принадлежит к введенному здесь классу оценок. Об этом неприятном свойстве рассматриваемого класса мы еще будем говорить немного ниже.

Пусть теперь Нетрудно показать, что в этом случае существует, подпоследовательность которая при сходится почти наверное к истинному значению Таким образом, несмотря на то, что мы знаем только корреляционную функцию процесса, мы вправе утверждать, что всякий раз, когда мы будем иметь сингулярный случай. В § 4,4 мы уже видели, что для нормальных процессов это условие является также и необходимым для того; чтобы имел место сингулярный случай (если ограничиться случаем положительно определенных корреляционных функций).

Как было указано в § 4.6, сходимость последовательности к функции из пространства влечет за Собой существование решения уравнения

имеющего интегрируемый квадрат. Так как последнее обстоя тельство встречается сравнительно редко, то естественно перейти к рассмотрению следующего более широкого класса линейных оценок;

где функция ограниченной вариации, а интеграл понимается в каком-либо удобном для нас смысле (например, в смысле Карунена).

Аналогично сказанному выше мы потребуем выполнения условий

Предположим, что удовлетворяет этим условиям, и пусть две произвольные точки из Если

то при любом вещественном будет выполняться условие

т. е. весовая функция также будет отвечать несмещенной оценке. Обозначая

мы найдем, что

Так как последнее выражение при любом должно превосходить то должно выполняться

условие

так что

при всех Легко понять, что постоянная в правой части последнего равенства равна как раз дисперсии нашей оценки,

т. е. минимальной дисперсии линейной оценки .

Пусть теперь обратно: удовлетворяет написанному выше интегральному уравнению и условию Если другая функция ограниченной вариации на такая, что то, полагая мы будем иметь

и

Последний член правой части, очевидно, является неотрицательным и, кроме того,

Таким образом, мы доказали, что

Мы уже показали раньше, что в случае корреляционной функции (отвечающей при дополнительном условии нормальности всех распределений вероятностей случаю стационарного маоковского процесса) при решении задачи проверки гипотезы о среднем значении процесса не удается построить функции задающей наилучший критерий. Рассмотрим теперь интегральное уравнение

в таком случае нетрудно проверить, что ему будет удовлетворять следующая функция ограниченной вариации:

причем

Отсюда вытекает, что выражение

определяет несмещенную оценку имеющую наименьшую дисперсию из всех оценок рассматриваемого класса. Ниже будет показано, что в случае нормального процесса эта оценка будет наилучшей и в значительно более широком классе оценок.

В качестве еще одного примера рассмотрим заданный на отрезке однородный по времени процесс с некоррелированными приращениями, имеющий неизвестное нам среднее значение и корреляционную функцию . В этом случае интегральное уравнение

очевидно, имеет решение

так что йаилучшей оценкой здесь будет