4.9. Точечный процесс с присоединенными случайными величинами.

Описанный выше метод приводит к интегральным уравнениям, которые на практике лишь в исключительных случаях могут быть явно разрешены, хотя, как мы увидим в §§ существуют методы, позволяющие в ряде важных случаев найти все же окончательное решение задачи. Разумеется, для решения,

интегрального уравнения во всех случаях можно применить приближенные численные методы, но тем не менее желательно найти, если можно, критерии, имеющие более простую структуру. Как мы уже упомянули выше, это часто оказывается возможным, если имеющиеся сведения о характере реализации позволяют ограничиться более узким функциональным пространством, чем

Рассмотрим следующий процесс, который нам пригодится также в главе, посвященной оценкам. На интервале наблюдается некоторый пуассоновский процесс интенсивности Он определяет случайную последовательность точек . В каждом интервале за значение мы принимаем значение нормально распределенной случайной величины с (неизвестным) средним значением и дисперсией 1. При этом величины предполагаются взаимно-независимыми. Такой процесс встречается, в частности, в приложениях теории случайных процессов к теории следящих систем (см. Джеймс, Никольс, Филлипс [1]). Его реализации имеют характер, рассмотренный нами в конце § 3.1, где было также указано» как в этом случае удобно выбирать совокупность координат. Мы хотим проверить гипотезу относительно некоторого другого значения Координата в нашем случае имеет дискретное распределение вероятностей, но, как уже упоминалось в § 4.2, это обстоятельство ничем не осложняет построения критерия. Как легко видеть, функция правдоподобия здесь имеет вид

Наиболее мощная критическая область определяется простым неравенством

Получаемый критерий, естественно, совпадает с критерием, отвечающим задаче о проверке среднего значения нормально распределенной случайной величины единичной дисперсии по независимым наблюдениям Отметим, однако, что наш критерий не сводится непосредственно к случаю независимых случайных величин, поскольку у нас является не фиксированным числом, а случайной величиной. С другой стороны, наилучший условный критерий (при условии, что фиксировано) сразу получается из классического случая.

В дальнейшем нам понадобится корреляционная функция рассматриваемого здесь процесса. Для ее вычисления фиксируем в таком случае

не содержит ни одной «точки содержит хоть одну точку

Учитывая еще, что как корреляционная функция вещественного процесса должна быть симметрической функцией своих аргументов, найдем, что здесь

Разумеется, наш процесс не является нормальным — это сразу следует из рассмотрения двумерных распределений вероятностей для величин