4.4. Критерии для проверки гипотезы о среднем значении нормального процесса.

Применим полученные выше результаты к следующей задаче. Пусть рассмотренный в § 3.1 нормальный случайный процесс с известной корреляционной функцией Мы хотим проверить гипотезу

относительно альтернативной гипотезы

В соответствии со сказанным в § 3.1 в качестве наблюдаемых координат процесса мы примем величины

Здесь ортонормирования система собственных функций интегрального уравнения с ядром которая в большинстве практически важных случаев оказывается полной в силу того, что является положительно определенным ядром. Если, однако, эта система не полна, то мы добавляем к ней другую ортонормированную систему ортогональную к первой и такую, что обе они вместе образуют полную систему. Очевидно, что все величины имеют нормальное распределение с параметрами

Если для некоторого целого числа имеет место неравенство то за критическую область, очевидно, можно принять множество

и при этом Таким образом, здесь мы имеем дело с крайним сингулярным случаем и можем по одной реализации с вероятностью 1 обнаружить, какая из гипотез на самом деле верна.

В дальнейшем мы исключим этот случай, предполагая, что для всех . В таком случае следует принимать во внимание только величины Эти величины имеют независимые нормальные распределения с параметрами

где Соответственно этому функции плотности в имеют вид

и, следовательно,

Предположим сперва, что

Полагая

мы будем иметь

В силу теоремы Колмогорова отсюда вытекает, что ряд сходится почти наверно и относительно и относительно Таким образом, здесь мы имеем регулярный случай и почти наверное

Иначе это можно записать следующим образом. Полагая

мы будем иметь

так что в силу результата § 41 наиболее мощной крити ческой областью для гипотезы относительно альтер нативы будет область

Предположим теперь, что Полагая

и воспользовавшись далее неравенством Чебышева и тем, что мы найдем, что для больших

Правая часть здесь при любом а стремится к нулю при Следовательно, при сходится к нулю по вероятности относительно Аналогично

получаем

где правая часть также стремится к нулю при и любом а. Отсюда вытекает, что при по вероятности относительно . В силу результата § 4.2 отсюда сразу следует, что здесь так что мы имеем дело с крайним сингулярным случаем. В гл. 5, посвященной теории оценок, мы продолжим рассмотрение этого примера и получим некоторые более явные формулы. Интересно отметйть, что уже в этом примере крайний сингулярный случай возникает по-разному: иногда сингулярность проявляется уже при рассмотрении конечного числа координат, а иногда она существенно зависит от характера сходимости последовательности, содержащей бесконечное число координат.