Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

2.1. Свойства мощности критерия.

В настоящей главе мы изложим основные факты о статистических выводах, относящиеся к случаю конечномерной выборки. Наблюденные значения мы будем рассматривать как выборку из генеральной совокупности X, характеризуемой распределением вероятностей полностью определяемым гипотезой Такая гипотеза, полностью определяющая распределение вероятностей, в математической статистике зывается простой.

На основании выборки мы будем делать заключение об истинности или ложности гипотезы Используемые для этой цели методы должны обладать тем свойством, что при их многократном применении они в большинстве случаев приводят к правильному заключению. Предположим, что мы выбрали некоторую измеримую область такую, что Если окажется, что то мы отвергнем нашу гипотезу, а в противоположном случае мы ее примем. называется критической областью уровня Ясно, что в случаях, когда гипотеза справедлива, мы будем отвергать ее с вероятностью

Таким образом мы можем построить бесконечное число различных критериев, отвечающих всевозможным критическим областям уровня Для того чтобы иметь возможность выбрать одну из них, Нейман и Пирсон предложили одновременно рассматривать некоторую альтернативную гипотезу При этом введенное выше число называется вероятностью ошибки первого рода. Другая возможность ошибиться заключается в возможности признания гипотезы правильной, когда на самом деле выполняется Вероятность такой ошибки называется вероятностью ошибки второго

рода; она, очевидно, равна Выбрав фиксированное значение мы можем теперь поставить вопрос об отыскании критической области уровня которой отвечает наименьшая вероятность Ясно, что при этом мы придем к некоторому критерию, имеющему оптимальный характер.

Обычно приходится иметь дело со случаем, когда распределения вероятностей задаются плотностями вероятности и соответственно

Важную роль при этом играет так называемое отношение правдоподобия, определяемое следующим образом:

Множество значений в которых и числитель и знаменатель этой дроби обращаются в нуль, имеет нулевую вероятность согласно обеим гипотезам, так что мы смело можем считать, что на этом множестве отношение правдоподобия равно, например, единице. Далее, можно показать, что наилучшей в указанном выше смысле критической областью будет область, определяемая соотношением

где постоянная с выбирается так, чтобы удовлетворялось равенство Мы не будем здесь останавливаться на возможном малопринципиальном затруднении, заключающемся в том, что это последнее уравнение относительно с может вовсе не иметь решения, отослав по этому поводу читателя к книге Крамера ([4], стр. 576). Случай, когда распределения вероятностей являются дискретными, может быть разобран совершенно аналогично.

Очень часто альтернативная гипотеза не является простой, а может зависеть от вещественного параметра а, причем тоже входит в это семейство гипотез, отвечая значению параметра . В таком случае каждому значению параметра а будет отвечать своя наилучшая критическая область для сравнения гипотезы с На. Если все эти критические области совпадают, то соответствующий критерий называется

равномерно наиболее мощным. К сожалению, в тех случаях, когда а принимает как положительные, так и отрицательные значения, последнее обстоятельство почти никогда не имеет места (см. Кендалл [1]).

Обычно рассматриваются не все возможные критерии, а лишь критерии, удовлетворяющие следующему совершенно естественному условию: Такие критерии называются несмещенными. Будем искать в классе всех несмещенных критериев критическую область данного уровня для которой при данном фиксированном а вероятность обращается в минимум. Можно показать, что при некоторых условиях регулярности этим свойством будет обладать область определяемая соотношением

где Может также случиться, что при любом значении а мы придем к одной и той же области . В этом случае соответствующий критерий называется равномерно наиболее мощным несмещенным критерием.

Относительно более сложных ситуаций, например таких, когда ищется критерий для сравнения двух сложных гипотез, мы отошлем читателя к книге Кендалла [1], в которой имеется также подробная библиография. Мы же в дующих главах будем рассматривать лишь простейшую ситуацию, обрисованную выше, и покажем, как можно применить относящиеся к ней методы к получению статистических выводов, касающихся случайных процессов. После того как преодолена основная трудность, заключающаяся в необходимости перенесения основных статистических понятий на бесконечномерный случай, уже нетрудно, по крайней мере в принципе, распространить полученные результаты на более общие ситуации, связанные с рассмотрением сложных гипотез, совершенно аналогично тому, как это делается в случае конечномерных выборок.