5.4. «Элементарные процессы» Дуба.

Мы уже видели, что при выяснении вопроса о среднем значении процесса часто оказывается недостаточно рассматривать лишь оценки вида где функция с интегрируемым квадратом; в этой связи мы ввели выше в рассмотрение интегралы Стильтьеса. Мы увидим далее, однако, что в ряде случаев и использования интегралов Стильтьеса недостаточно для получения наилучших оценок. По этой причине удобно рассмотреть нашу задачу с другой точки зрения.

Пусть мы знаем результаты наблюдений над процессом в течение интервала времени причем предполагается, что Требуется найти несмещенную линейную оценку величины имеющую минимальную дисперсию. Если несмещенная оценка и

то, очевидно,

Следовательно, в этом случае

(ибо выражение в квадратных скобках, очевидно, стремится к нулю при Таким образом, каждая несмещенная линейная оценка может быть получена как предел конечных сумм

Рассмотрим теперь множество состоящее из всех случайных величин вида

Замкнув это множество относительно сходимости в среднем, мы придем к новому множеству Так как множество очевидно, является замкнутым и выпуклым, то в нем существует по крайней мере один элемент с

Нетрудно показать, что такой элемент на самом деле будет только один. Действительно, пусть другой такой элемент; тогда и

что противоречит нашему определению Таким образом, в рассматриваемом классе несмещенных линейных оценок имеется единственная оценка наименьшей дисперсии.

Обозначим эту оценку через и рассмотрим выражение Если

то мы рассмотрим оценку

которая также будет несмещенной. В таком случае

и, следовательно, мы можем выбрать так, чтобы было что противоречит нашему определению Итак, функция при всех из интервала должна принимать одно и то же значение

Но так как

то

откуда видно, что постоянная с равна дисперсии нашей оценки

Отметим еще, что решение этого уравнения всегда дает нам однозначно определенную несмещенную линейную оценку наименьшей дисперсии. Действительно, если

то из того что вытекает, что т. е. что наши две оценки совпадают между собой. Если же с то всегда можно считать, что , но в таком случае, очевидно,

и из того, что обе наши оценки являются несмещенными, сразу следует, что

Применим теперь полученные здесь результаты к важному классу стационарных процессов, введенному Дубом [5]. Мы будем рассматривать лишь регулярные процессы из этого класса, т. е. будем предполагать, что корреляционная функция процесса представима в виде

где многочлен в знаменателе имеет вещественные коэффициенты и все его нули расположены в верхней полуплоскости:

Этот процесс может быть также получен как решение, линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (Карунен [2]). При мы получаем процесс с корреляционной функцией вида

Совершенно очевидно, что рассматриваемый нами процесс имеет производные (в смысле пределов в среднем) вплоть до порядка Рассмотрим оценку

где наблюдаемый процесс и

(это всегда возможно, так как

откуда видно, что имеет положительную мнимую часть, т. е. одного знака, и, следовательно, знаменатель нашей оценки не может обратиться в нуль). Разумеется, такая оценка будет несмещенной; сейчас мы покажем, что она будет и оценкой наименьшей дисперсии. Рассмотрим выражение

Но

и в силу теоремы Коши правая часть здесь тождественно равна нулю при При аналогично получаем

Таким образом,

где мы положили при нечетном в противном случае. Итак, мы видим, что

Поскольку правая часть здесь не зависит от то отсюда вытекает, что действительно является единственной линейной несмещенной оценкой наименьшей дисперсии. Для того чтобы определить эту дисперсию, надо только подсчитать, чему равна постоянная в правой части последнего равенства. Интегрируя два дифференциальных уравнения для в пределах от до и учитывая, что стремятся к нулю при в силу теоремы Лебега о коэффициентах Фурье, мы найдем, что

Следовательно, дисперсия нашей наилучшей оценки равна