Глава 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Вероятностная мера.

Рассмотрим абстрактное пространство 2 (точки которого будут обозначаться через со следующими свойствами: в 2 задано борелевское поле множеств, содержащее также и все 2, и на этом поле определена вполне аддитивная неотрицательная функция множества такая, что этом случае будет называться вероятностной мерой на 2. Часто оказывается удобным замкнуть (или пополнить) эту меру, приняв, что каждое подмножество любого множества (принадлежащее нашему борелевскому полю) нулевой меры также является измеримым и имеет нулевую меру.

Вещественные функции заданные на 2 и измеримые относительно называются случайными величинами. В пространстве случайных величин определен оператор среднего значения (математического ожидания) который задается равенством

(разумеется, он применим, лишь если функция интегрируема относительно . В тех случаях, когда приходится рассматривать случайные величины, принимающие комплексные значения, в эти определения следует внести очевидные изменения, допустив также и комплексные функции

Пусть некоторые случайных величин, заданных на 2. Если при любом выборе борелевских множеств на вещественной оси будет иметь место равенство

то эти случайные величины будут называться независимыми.

Пусть теперь произвольное измеримое множество, случайных величин. Обозначим через "цилиндрическое множество" в 2, определяемое условием, что принадлежит некоторому произвольному измеримому множеству в -мерном евклидовом пространстве с координатами . В таком случае будет существовать одна и (с точностью до эквивалентности) только одна функция такая, что при любом выборе такого множества

(Колмогоров [1], стр. 57). Функция называется условной (относительно вероятностью А. Аналогичным образом может быть определено понятие условного математического ожидания (Колмогоров [1], стр. Оказывается, что на условные вероятности обычно можно перенести все свойства абсолютных вероятностей . В частности, если фиксированное множество, то

при почти всех значениях подобным же образом, разумеется, изменяются и прочие свойства абсолютных вероятностей. Вообще при некоторых условиях можно показать, что можно определить так, чтобы оно почти наверное было распределением вероятностей.