Глава 3. НАБЛЮДАЕМЫЕ КООРДИНАТЫ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

3.1. В дальнейшем мы попытаемсяперенести классические методы получения статистических выводов на случайные процессы. Рассмотрим прежде всего случай, когда требуется оценить значение одного параметра а. Из предыдущего ясно, что в этом случае естественно составить одну функцию от наблюденной реализации, причем выбрать эту функцию так, чтобы в качестве оценки а она обладала некоторыми хорошими свойствами. При этом наша оценка будет функцией от функции, т. е., иначе говоря, функционалом, определенным на выборочном пространстве (пространстве реализаций). В настоящее время теория функционалов развита главным образом в применении к функционалам линейным или же принадлежащим к некоторым другим весьма частным типам. Обычно (но не всегда; некоторые исключения будут указаны позже) у нас, однако, не будет никаких оснований ограничиваться этими специальными типами функционалов. Поэтому нам придется рассматривать функционалы весьма общего типа, ограниченные только некоторыми весьма естественными условиями регулярности.

Информация, получаемая при наблюдении случайного процесса, непосредственно задается в виде одной или нескольких вещественных функций. Для наших целей будет более удобно во всех случаях, когда это возможно, преобразовать эту информацию в форму последовательности вещественных чисел; тем самым, разумеется, мы переходим к выборочному пространству, имеющему меньшую мощность, чем пространство 2 всех вещественных функций. В задачах, которые мы будем рассматривать в дальнейшем, такой переход всегда оказывается возможным. Вопрос о том, как именно следует выбрать последовательность лишь отчасти относится к математике: при его решении

существенно учитывать, какие именно свойства реализации могут быть наблюдены в практических применениях, из которых возникла наша задача. Числа в дальнейшем будут называться наблюдаемыми координатами процесса. Мы увидим ниже, что удачный выбор этих координат может существенно облегчить построение оценок, критериев согласия и других интересующих нас величин.

Рассмотрим следующий зажный пример. Пусть нормальный случайный процесс, наблюдаемый в течение конечного временнбго интервала Будем считать этот процесс непрерывным в среднем; его среднее значение и корреляционную функцию обозначим через соответственно, Как было показано в § 1.3, в таком случае будет выполняться соотношение

где сумма справа сходится в среднем при любом Здесь собственные значения и соответствующие им собственные функции интегрального уравнения

а случайные величины такие, что

Величины очевидно, будут нормально распределенными, так как они могут быть представлены в виде пределов линейных комбинаций значений в конечных множествах точек из

Таким образом, наш процесс может быть представлен следующей случайной функцией:

где обладают теми же свойствами, которые были отмечены выше. и Зигерт [1] показали, что сумма в правой части сходится почти для всех из

Далее, они же показали, что эта сумма почти наверное сходится в среднем относительно меры Лебега на Выбрав теперь функцию с интегрируемым квадратом модуля, можно составить интеграл который будет представлять собой измеримую функцию на 2, поскольку исходная случайная функция была измеримой на

Вернемся теперь к вопросу о способах задания информации, содержащейся в одной реализации процесса Один из удобных способов такого задания состоит в задании последовательности коэффициентов Фурье нашей реализации относительно некоторой полной ортонормированной системы функций. Особенно удобно выбрать в качестве последней систему собственных функций (если только она является полной; в противном случае ее надо предварительно пополнить ортогональной к ней вспомогательной ортонормированной системой функций, выбранной произвольным образом). В таком случае очень легко получить распределение вероятностей для любого конечного числа коэффициентов после чего все эти распределения обычным образом могут быть распространены на некоторое борелевскоё поле. Зная последовательность мы будем знать и всю реализацию, если только мы условимся отождествлять любые две функции, различающиеся не более, чем на множестве нулевой меры. Ясно, что с точки зрения практики последнее условие является вполне допустимым.

В отдельных случаях, когда корреляционная функция имеет некоторый специальный простой вид, более удобной оказывается другая система координат. Рассмотрим, например, гауссовский стационарный марковский процесс. Мы видели в § 1.4 что в качестве выборочного пространства здесь можно взять пространство всех непрерывных вещественных функций на Пусть счетное множество точек, всюду плотное на . В таком случае с вероятностью 1 реализация будет полностью задаваться значениями при всех . В дальнейшем мы увидим, что выбор этой системы наблюдаемых координат имеет существенные преимущества при изучении рассматриваемого процесса.

Важным классом процессов является также класс точечных процессов с присоединенными случайными величинами.

Поскольку выборочное пространство этих процессов состоит из совокупности ступенчатых функций, представляется целесообразным воспользоваться следующей системой координат. Если реализация здесь имеет вид

где некоторые случайные величины, то в качестве наиболее удобных координат естественно выбрать последовательность величин Если желать, чтобы эти координаты не отличались по своей форме от рассмотренных выше, можно добавить к ним бесконечную последовательность вещественных чисел и сопоставить каждому из этих чисел какую-либо простую случайную величину, например такую, что все они будут независимы друг от друга и от всех предыдущих координат (разумеется, за исключением и все будут распределены по закону Гаусса с параметрами (0,1). С формальной точки зрения такое добавление может явиться даже упрощением. В дальнейшем мы будем иметь дело лишь со случаем, когда При рассмотрении других типов процессов, разумеется, может случиться, что удобно будет ввести еще какую-нибудь новую систему координат. Но мы всегда будем предполагать, что информация, содержащаяся в реализации, может быть представлена с помощью счетной последовательности вещественных чисел, В некоторых случаях мы будем обозначать совокупность координат через используя символ (о для обозначения всей информации, содержащейся в наблюденной реализации. Пространство 2 при этом будет называться координатным пространством.