5.2. ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

5.2.1. Определение.

Случайный процесс называется гауссовским, если совместная плотность вероятности любой конечной совокупности величин , нормальная, т. е. определяется по формуле [см. (2.64)]

где — вектор средних значений процесса с компонентами корреляционная матрица процесса размером с элементами, равными корреляционной функции центрированного процесса в моменты времени

Конечно, гауссовский случайный процесс может быть определен последовательностью характеристических функций

которая получается -кратным преобразованием Фурье от плотности (5.8).

Модель гауссовского случайного процесса широко используется в естествознании и технике. В радиотехнике и связи гауссовский случайный процесс является адекватной математической моделью активных и пассивных помех, атмосферных и космических шумов, каналов с замиранием, с многолучевым распространением, групповых сигналов в многоканальных системах. Флуктуационные шумы приемных устройств, обусловленные дробовым эффектом и тепловым движением электронов, также подчиняются нормальному закону распределения. Адекватность модели гауссовского случайного процесса многим реальным помехам и сигналам и ее универсальность объясняются во многих случаях действием центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. п. 5.2.7).

Из определения (5.8) гауссовского случайного процесса следует, что эта модель полностью определяется заданием среднего значения и корреляционной функции случайного процесса.

5.2.2. Стационарный гауссовский случайный процесс.

Если гауссовский случайный процесс стационарен в широком смысле, то средние значения постоянны, а корреляционная функция зависит не от двух переменных U и а только от их разности При этом распределение вероятностей (5.8) гауссовского процесса не меняется для любого сдвига группы точек вдоль оси времени на постоянное значение.

Иначе говоря, при выполнении указанных условий гауссовский случайный процесс является строго стационарным. Таким образом, из стационарности в широком смысле гауссовского случайного процесса следует его стационарность в узком смысле.

Плотность вероятности произвольного порядка стационарного гауссовского процесса представляется в следующей скалярной форме

где — дисперсия процесса, D — детерминант матрицы элементы которой представляют значения нормированной корреляционной функции, алгебраические дополнения элемента в матрице

Многомерная характеристическая функция стационарного гауссовского случайного процесса

Выпишем отдельно одномерную и двумерную плотности вероятности и характеристические функции стационарного гауссовского процесса

(5.136)

Отметим, что достаточным условием эдгодичности и условием сильного перемешивания стационарного гауссовского процесса является непрерывность его спектральной плотности мощности, т. е. ограниченность интеграла (см. [13]).

5.2.3. Гауссовский процесс с независимыми значениями.

Если любые два значения гауссовского случайного процесса в несовпадающие моменты времени некоррелированы, то при и тогда матрица -диагональная с элементами по диагонали.

Поэтому в (5.11) следует подставить значения

В этом случае плотность вероятности порядка гауссовского процесса

т. е. является произведением одномерных нормальных плотностей распределения, что соответствует независимости значений процесса в любые два момента времени.

Таким образом, стационарный гауссовский случайный процесс с некоррелированными значениями является также процессом с независимыми значениями.

Координаты нормального случайного процесса в ортогональном разложении (4.158) представляют, следовательно, совокупность независимых случайных величин.

5.2.4. Линейное преобразование гауссовского процесса.

Линейная комбинация гауссовских процессов, производная и интеграл гауссовского процесса или любое другое линейное преобразование снова приводит к гауссовскому процессу (или к гауссовской случайной величине), как это следует из

Рассмотрим линейную комбинацию гауссовских случайных процессов

(где - заданные функции), которая представляет также гауссовский случайный процесс. Если заданы средние, дисперсии, корреляционные и взаимные корреляционные функции гауссовских процессов , то нетрудно определить распределение любого порядка случайного процесса

Для примера рассмотрим сумму двух гауссовских случайных процессов и пусть — их средние, корреляционные и взаимные корреляционные функции соответственно. Используя матричное представление характеристической функции [см. (5.10)], можно в компактном виде представить совместную характеристическую функцию процессов ) и

(5.16)

где — вектор-столбец средних значений -матрица ковариаций случайных величин причем

Тогда -мерная характеристическая функция суммы имеет вид

Если два гауссовских процесса некоррелированы, т. е. их взаимные корреляционные функции равны нулю, то из приведенных соотношений следует [см., например, (5.10)], что эти процессы независимы.

5.2.5. Производная в среднеквадратическом гауссовского процесса.

Определим одномерную и двумерную плотности вероятности производной гауссовского случайного процесса. Так как одномерное распределение гауссовского процесса определяется двумя функциями времени — средним и дисперсией, то одномерная плотность вероятности производной гауссовского процесса

где в соответствии с (4.140) и (4.139)

(5.19 а)

Для стационарного гауссовского процесса (5.18) упрощается, так как при этом . Если, кроме того, , то

где определяется по формуле (4.145).

Используя (4.142) нетрудно найти двумерную плотность распределения производной стационарного гауссовского процесса

где

(5.20 а)

Подобным же образом, определяя корреляционную матрицу для производной в моментах времени, можно получить выражение -мерной плотности вероятности производной гауссовского случайного процесса.

5.2.6. Совместное распределение гауссовского процесса и его производной.

Как было показано в 4.5.4, значения стационарного в широком смысле случайного процесса и его производной в среднеквадратическом некоррелированы в совпадающие моменты времени. Поэтому для гауссовского случайного процесса указанные величины независимы в совпадающие моменты времени. Тогда совместная плотность вероятности гауссовского центрированного стационарного случайного процесса и его производной в совпадающие моменты времени

Совместное распределение стационарного гауссовского процесса и его производной в несовпадающие моменты времени представляет двумерное нормальное распределение гауссовских случайных величин .

Учитывая (4.147), находим

При формула (5.52) совпадает с (5.21).

Совместное распределение гауссовского стационарного случайного процесса и его производной в два момента времени t и представляет чегырехмерное нормальное распределение четырех гауссовских случайных величин: . В этом случае нормированная корреляционная матрица

где

Таким образом,

Детерминант этой матрицы и алгебраические дополнения ее элементов

Используя (5.11), находим искомое четырехмерное распределение

5.2.7. Центральная предельная теорема для стационарных случайных процессов.

Пусть — стационарный центрированный случайный процесс с дискретным временем, удовлетворяющий условию сильного перемешивания с коэффициентом а [см. (4.44)]. Предполагается, что для некоторого

Если

абсолютно сходится. Если, кроме того то

(5-28)

где — гауссовская случайная величина с параметрами (0; 1).

Для стационарных процессов с независимыми значениями соотношение (5.28) соответствует (3.104).

Если последовательность удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания [см. (4.44 а)], то соотношение (5.28) выполняется при условии

Приведенное утверждение распространяется и на стационарные центрированные случайные процессы с непрерывным временем , которые удовлетворяют условию равномерно сильного перемешивания! с коэффициентом . Если

Если, кроме того, , то

где — гауссовская случайная величина с параметрами (0; 1).

Подробные доказательства приведенных здесь результатов см., например, в [13, 14]. Заметим также, что эти утверждения, очевидно, имеют место для Т-зависимых случайных процессов (см. п. 4.2.7).