9.5. Интеграл от случайного процесса

1. Часто возникает необходимость рассмотрения интегралов

(9.5.1)

где — некоторая детерминированная ограниченная кусочнонепрерывная функция, — заданный случайный процесс. Эти интегралы могут быть введены как стохастические пределы соответствующих сумм (см., например, [3, 38, 51, 54]), причем различными способами в соответствии с различными определениями стохастического предела. Если интегралы (9.5.1) определить в среднеквадратичном, то необходимым и достаточным условием их существования (см., например, [54]) явится сходимость интегралов

(9.5.2)

для любых . Эта сходимость заключается в конечности средних квадратов . В случае их бесконечных значений мы будем говорить о существовании в обобщенном смысле, если величины (9.5.2) могут быть представлены через дельта-функции или их производные. Если интегралы (9.5.2) расходятся, но могут быть суммированы, то мы опять-таки будем говорить о существовании и в обобщенном смысле.

Существование случайных процессов (9.5.1) позволяет (см., например, [51, 54]) менять местами интегрирование и усреднение, т. е. операция интегрирования, так же как операция дифференцирования, коммутирует с усреднением.

2. Интегралы (9.5.1) можно рассматривать как некоторые линейные преобразования случайного процесса . Такой подход к интегралам развивается далее (см. гл. 11 — 13).

В даном параграфе мы остановимся только на одном частном случае , когда оба интеграла (9. 5.1) можно объединить в один, рассматривая

(9.5.3)

как случайную функцию параметра .

Если параметром является время , то (9.5.3) есть случайный процесс, равный интегралу от . Если не зависит от времени, то (9.5.3) является случайной величиной, зависящей от и .

3. Используя коммутируемость операций интегрирования и усреднения, легко записать моментные функции для :

(9.5.4)

Аналогичное выражение будет иметь место и для кумулянтных функций [16]:

(9.5.5)

Легко понять, что формулы (9.5.4), (9.5.5) представляют собой, по существу, интегралы от (9.2.1), (9.2.2) (где следует положить ), взятые при начальных условиях , что соответствует начальному условию . Здесь через мы опять обозначаем как моментные, так и кумулянтные функции.

То, что при дифференцировании и интегрировании случайного процесса его моментные и кумулянтные функции также претерпевают аналогичные преобразования, является следствием линейности этих операций. Другим очевидным следствием линейности операций дифференцирования и интегрирования является сохранение кумулянтности случайного процесса. Так, производная и интеграл от нормально распределенного случайного процесса сами имеют нормальное распределение, равно как неизменными остаются и все другие модельные распределения.

4. Если , то (9.5.4), (9.5.5) дают следующие выражения s-гo момента и кумулянта случайной величины:

Пусть теперь — стационарный случайный процесс, тогда моментные и кумулянтные функции равны

Неопределенный интеграл от случайного стационарного процесса уже не будет стационарным процессом.