2.2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ
Задача НЛП называется задачей без ограничений, если она не содержит условий, ограничивающих изменение переменных. Прямое следствие теоремы 2.1 дает необходимое условие оптимальности точки х для задач
без ограничений. Условие заключается в том, что
Следствие 2.1.1. Пусть
дифференцируема. Если
максимизирует
на
то
Доказательство. Допустим, что
Выбирая
получаем
Тогда по теореме 2.1 существовала бы точка со значением функции
большим, чем
Противоречие очевидно.
Хотя условие
с неизбежностью следует из того, что и является точкой максимума при отсутствии ограничений, оно не является достаточным. В самом деле, если даже
то х может быть локальным максимумом, глобальным минимумом или даже седловой точкой (см. упр. 2.3 и 2.4). В случае локального максимума х максимизирует
в некоторой окрестности х, тогда как при глобальном максимуме х максимизирует
на всем
Термин «седловая точка» определен в § 2.6.
В следующем параграфе описываются функции, для которых необходимое условие того, что х является глобальным максимумом (условие
является также достаточным, т. е. гарантирует, что х является глобальным максимумом.