2.2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ
Задача НЛП называется задачей без ограничений, если она не содержит условий, ограничивающих изменение переменных. Прямое следствие теоремы 2.1 дает необходимое условие оптимальности точки х для задач
без ограничений. Условие заключается в том, что 
Следствие 2.1.1. Пусть 
дифференцируема. Если 
максимизирует 
на 
то 
Доказательство. Допустим, что 
Выбирая 
получаем 
Тогда по теореме 2.1 существовала бы точка со значением функции 
большим, чем 
Противоречие очевидно.
Хотя условие 
с неизбежностью следует из того, что и является точкой максимума при отсутствии ограничений, оно не является достаточным. В самом деле, если даже 
то х может быть локальным максимумом, глобальным минимумом или даже седловой точкой (см. упр. 2.3 и 2.4). В случае локального максимума х максимизирует 
в некоторой окрестности х, тогда как при глобальном максимуме х максимизирует 
на всем 
Термин «седловая точка» определен в § 2.6.
В следующем параграфе описываются функции, для которых необходимое условие того, что х является глобальным максимумом (условие 
является также достаточным, т. е. гарантирует, что х является глобальным максимумом.
