3.2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МНОЖИТЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ КУНА-ТАККЕРА

Множители в условиях Куна — Таккера часто называются множителями Лагранжа, двойственными переменными, теневыми ценами или приписанными оценками Они обладают интересным свойством приписывать оценку каждому ограничению.

Рассмотрим задачу: найти при . Здесь могут быть рассмотрены как общее количество имеющегося ресурса .

Нас интересует поведение оптимального значения целевой функции при изменении правой части Пусть означает оптимальную точку как функцию наличных ресурсов Ниже будет доказано, что

Поэтому является маргинальным изменением оптимального значения целевой функции при изменении Интуитивно приблизительно соответствует приросту

целевой функции при увеличении имеющегося количества ресурса на единицу. Кроме того, Я можно интерпретировать как оценку ресурса

Предположения. Для простоты предположим, что функция обладает необходимыми свойствами гладкости. В частности, предположим, что непрерывно дифференцируемы. Предположим также, что выполняется условие регулярности, так что удовлетворяет условиям Куна — Таккера при фиксированном Наконец, предположим, что при данном значении если некоторое ограничение активно для оптимального решения то это ограничение остается активным и для решений при всех достаточно близких к Это последнее предположение просто означает, что если ресурс лимитирует нас так, что то он будет продолжать лимитировать нас и при небольших изменениях

Доказательство результата. Чтобы установить равенство (3.3), напомним, что условия Куна — Таккера для задачи (3.2) имеют вид:

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем

Из уравнения (3.5)

Теперь вычислим правую часть уравнения (3.6). Сначала предположим, что ограничение активно в точке так что Тогда согласно предположению оно будет активным в некоторой окрестности Ясно, что

где

Поэтому, если ограничение активно, то

Теперь допустим, что ограничение неактивно, т. е.

Если меняется в своей достаточно хмалой окрестности, то ограничение должно оставаться неактивным. Следовательно, согласно условию 2 Куна — Таккера

Подставляя уравнение (3.7) и (3.9) в (3.6), получаем

что подтверждает соотношение (3.3).

Замечание. Практическое значение этого результата в том, что мы можем легко оценить, как изменится оптимальное значение целевой функции при изменении количества располагаемых ресурсов. В частности, если увеличивается на одну единицу, то следует ожидать увеличения целевой функции примерно на единиц. Следует обратить внимание на то, что при этом нет необходимости решать новую задачу НЛП.