целевой функции при увеличении имеющегося количества ресурса
на единицу. Кроме того, Я можно интерпретировать как оценку ресурса
Предположения. Для простоты предположим, что функция
обладает необходимыми свойствами гладкости. В частности, предположим, что
непрерывно дифференцируемы. Предположим также, что выполняется условие регулярности, так что
удовлетворяет условиям Куна — Таккера при фиксированном
Наконец, предположим, что при данном значении
если некоторое ограничение активно для оптимального решения
то это ограничение остается активным и для решений
при всех
достаточно близких к
Это последнее предположение просто означает, что если
ресурс лимитирует нас так, что
то он будет продолжать лимитировать нас и при небольших изменениях
Доказательство результата. Чтобы установить равенство (3.3), напомним, что условия Куна — Таккера для задачи (3.2) имеют вид:
Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем
Из уравнения (3.5)
Теперь вычислим правую часть уравнения (3.6). Сначала предположим, что ограничение
активно в точке
так что
Тогда согласно предположению оно будет активным в некоторой окрестности
Ясно, что
где
Поэтому, если ограничение
активно, то
Теперь допустим, что ограничение
неактивно, т. е.
Если
меняется в своей достаточно хмалой окрестности, то ограничение
должно оставаться неактивным. Следовательно, согласно условию 2 Куна — Таккера
Подставляя уравнение (3.7) и (3.9) в (3.6), получаем
что подтверждает соотношение (3.3).
Замечание. Практическое значение этого результата в том, что мы можем легко оценить, как изменится оптимальное значение целевой функции при изменении количества располагаемых ресурсов. В частности, если
увеличивается на одну единицу, то следует ожидать увеличения целевой функции примерно на
единиц. Следует обратить внимание на то, что при этом нет необходимости решать новую задачу НЛП.