Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 12.3. МЕТОД БАРЬЕРОВКак было отмечено, сущность метода барьеров заключается в барьерной функции
При компактном Очевидно, что
б) Условие (б) иначе можно перефразировать так: если
то Нример функции В был приведен в Отметим, что так как
где Теперь определим для
Мы предполагаем, что Подзадача. Метод барьеров требует решения следующей подзадачи для
Сейчас мы покажем, что максимизирующая точка действительно существует; тогда вместо операции Предположим, что
Тогда согласно определению
Поскольку
где Вначале предположим, что тогда благодаря непрерывности
т. e. Теперь допустим, что
Но равенство (12.37) не может иметь места, так как Полученное противоречие означает, что Алгоритм метода барьеров. Теперь будет сформулирован метод барьеров. Пусть дана такая последовательность
И вообще, исходя из точки Сходимость. Для доказательства сходимости необходимы следующие предположения (часть их уже приводилась выше, но для удобства будет здесь повторена). Функции (12.1), то в любой окрестности х существует точка Для доказательства сходимости нам следует вначале сформулировать следующую лемму, доказательство которой аналогично доказательству леммы 12.1 и оставляется в качестве упр. 10.
Сходимость метода барьеров будет установлена применением теоремы сходимости С. Мы определяем алгоритм последовательностью а точку х будем называть подходящей, если она будет решением задачи (12.1). Условие 1а выполняется, так как все точки х входят в допустимое множество, а согласно (12.38), если Выполнение условия 16 следует из того, что все точки входят в компактное множество Для проверки условия 2 положим
По предположению мы можем найти точку
Кроме того, поскольку
Тогда
При этом, так как
Этим подтверждается выполнение условия 26, и значит процедура удовлетворяет теореме сходимости С. Следствие 12.2.1. 12.3.1. Вогнутая двойственность для метода барьеровПредположим, что
6), функция
вогнута на
Теперь определим
Тогда для фуикции Лагранжа
и
где последнее равенство следует из (12.46). Двойственная задача. Двойственная задача из гл. 2 благодаря вогнутости
Но, используя выражения (12.46) и (12.48), мы видим, что точки Границы погрешностей. Из теории двойственности известно, что функция
является верхней границей для
Отсюда видно, что
можно рассматривать как член, выражающий погрешность, поскольку его величина служит границей для разности между Из следствия 12.2.1 Упражнения(см. скан) (см. скан) Примечания и ссылкиОбсуждение метода штрафных функций взято из работы Зангвилла (1967а), а обсуждение метода барьеров можно найти в работе Фиакко и в совместной работе Фиакко и Маккормика (1964а). Эти методы и особенно метод барьеров были подробно анализированы Фиакко и Маккормиком (см. Фиакко и Маккормик (1963), (1964в) (1966а), ;(1965Ь), (,1966)). Первые упоминания о методах штрафных функций и барьеров относятся, по крайней мере, к 1943 г.; см. Курант. Другие родственные подходы могут быть найдены у Белтрами и Мак Гилла; Батлера и Мартина; Кэррола (1959), (1961); Кемпа; Фриша; Гольдштейна и Криоке; Петршиковокого; Псшенталья; и Стонга.
|
1 |
Оглавление
|