ВВЕДЕНИЕ

Нелинейное программирование, охватывая весьма широкий круг задач, является одним из основных разделов в теории оптимальных решений. Эта книга представляет собой новый и единый подход к нелинейному программированию, который не только облегчает изучение предмета, но и помог получить много новых результатов. Материал большей части книги основан на исследованиях, проведенных автором и другими специалистами, и раньше нигде не был опубликован.

Нелинейное программирование в определенном смысле подобно линейному программированию, в нем отсутствует лишь требование линейности функций, хотя, конечно, теория нелинейного программирования охватывает и линейный случай. Большая общность нелинейных функций позволяет осуществить исключительно точное моделирование реальных задач. В книге рассматриваются как постановки, так и методы решения подобных задач.

Ключевой вопрос состоит в том, обеспечивает ли заданный алгоритм получение численного решения данной задачи или, более точно, сходится ли вырабатываемая им последовательность приближенных решений к точному решению задачи. Значительная часть книги посвящена анализу этого вопроса с помощью подхода, основанного на исследованиях автора по теории алгоритмической сходимости. Изложенная здесь теория упрощает многие известные ранее доказательства, дает доказательство сходимости новых алгоритмов и обеспечивает изучающих единым методом для освоения нелинейного программирования.

Книгу можно разделить на три основные части. В первой части (гл. 1) приводятся формулировки различных задач в терминах нелинейного программирования. В ней рассматриваются задачи планирования производства и управления запасами, регрессионного анализа, поведения потребителя, проектирования теплообменников, управления движением ракеты, решения уравнений, метода «затраты — эффективность» и финансового

анализа как задачи Нелинейного программирования. Включены также экономические, математические, технические и научные приложения, приложения к сфере деловых отношений и управления государством, вопросы геометрического программирования, оптимального управления и квадратичного программирования.

Сформулировав задачу, мы приступаем к ее численному анализу, добиваясь выделения оптимальной точки среди других допустимых точек. Вторая часть книги (гл. 2 и 3) посвящена задаче распознавания решения и рассматривает такие вопросы, как вогнутые и выпуклые функции, условия Куна — Таккера, условия регулярности и теория двойственности. Она содержит экономическую интерпретацию, а также двойственную задачу геометрического программирования и принцип максимума оптимального управления.

Зная, как распознать точку, являющуюся решением задачи нелинейного программирования, мы приступаем к значительно более трудной задаче, а именно к задаче движения из точки, которая не является решением, в точку, представляющую собой решение. Изучение этой задачи составляет третью и последнюю часть книги. По существу эта задача сводится к исследованию алгоритмов, хотя мы рассматриваем также экономическую интерпретацию и приводим важную зависимость между теорией сходимости и теорией устойчивости Ляпунова для разностных уравнений. Основной упор в третьей части сделан на теорию сходимости. Здесь не только представлено несколько новых алгоритмов, сходимость которых доказана с помощью этой теории, но при анализе ранее известных алгоритмов вместо старых доказательств приведены новые, основанные на приведенных общих положениях. Таким образом, установлен единый подход к анализу алгоритмов нелинейного программирования. Теория сходимости обычно приводит к упрощению соответствующих обоснований. Хотя при использовании теории сходимости возникают, естественно, свои трудности, мы, тем не менее, надеемся, что ее применение облегчит освоение предмета и поможет в доказательстве сходимости других алгоритмов.

Содержание книгй. Книга не претендует на краткое изложение всех результатов, известных в нелинейном программировании. Однако автор пытался включить в работу широкий круг наиболее интересных проблем. Многие

Вопросы нелинейного программирования, не приведенные в тексте, рассмотрены в упражнениях. Таким образом, упражнения представляют собой неотъемлемую часть книги. Кроме того, примечания в конце каждой главы содержат ссылки на литературу по данным вопросам, использование которой позволит более глубоко изучить предмет.

Предварительная подготовка, необходимая для чтения книги. Книга предполагает знакомство читателя с некоторыми разделами линейного программирования, математического анализа и линейной алгебры (с введением! в задачу линейного программирования, симплексным методом и теоремами двойственности линейного программирования); из математического анализа предполагается знакомство с пределами и последовательностями, непрерывностью, дифференцированием, разложением в ряд Тейлора и замкнутыми множествами. В книге имеется приложение, которое поможет освежить в памяти читателей некоторые из этих вопросов. Из линейной алгебры предполагается знакомство с операциями над матрицами и векторами и с линейной независимостью. В работе используются и некоторые другие математические понятия, но они предварительно объясняются.

Порядок изложения. Книга содержит достаточно материала и может служить основой годового курса по нелинейному программированию или же обзора, рассчитанного на несколько недель.

Краткий курс может состоять из следующих глав и параграфов: 2; 4; 5 (за исключением 5.4.4); 7.1; 8.1; 8.2; 10.1; 11; 12.1; 12.2; 13.1 и 13.2. Такой выбор разделов обеспечивает логически последовательное изложение и охватывает многие важные вопросы нелинейного программирования. Гл. 6 и 9 более трудные, их можно опустить при первом чтении, не прервав связь изложения.

Логическая взаимосвязь глав изображена на рисунке (обратите внимание на то, что чтение книги можно начать с гл. 2).