Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 10.2. АЛГОРИТМ ЛАГРАНЖАВо всех методах, рассмотренных до этого, в качестве функции Предположения о седловой точке. Как было показано в теореме 2.18, если функция Лагранжа седловая точка существует. В явной форме это означает существование точки
Кроме того, предполагается, что существует единственная точка
(Простое условие, гарантирующее выполнение этого предположения, приведено в упр. 8.) Если определим множество Лемма 10.1. Пусть существует точка Доказательство. По определению седловой точки для любой
Из того, что
Но так как
т. е. все компоненты Теперь мы
Переходя к пределу в (10.8), получаем
Алгоритмическое отображение. Теперь определим алгоритмическое отображение. Пусть
является градиентом
— градиентом
где
Обратите внимание на то, что для определения алгоритмического отображения требуется как х, так и Я. Следовательно, Функция
Иначе говоря,
компактны для любых положительных у и Подходящая точка. Точка
Таким образом, Если точка Выбор Для заданной произвольной исходной точки
Согласно (10.14) множества, по которым выполняется минимизация, являются компактными, при этом полезно заметить, что требование
На основе непрерывной дифференцируемости функций
Лемма 10.2. Пусть Доказательство. Согласно вогнутости
Из
Но тогда комбинация соотношений (10.19) и (10.20) дает
По определению седловой точки и по (10.7), если
Наконец, из (10.21) и (10.22) получаем
Доказательство сходимости. Теперь установим сходимость процедуры Лагранжа, используя теорему сходимости А. Для полноты мы вкратце приведем все предположения, которые требуются для сходимости. Функции Условие 3. Условие 3 следует непосредственно, так как алгоритмическое отображение является непрерывной функцией. Условие 2. Для того чтобы доказать выполнение условия 2, требуются некоторые предварительные рассмотрения. Обозначим Возводя в квадрат (10.12), получаем
Кроме того, из (10.12), учитывая, что
Далее, используя (10.23) и (10.24), после небольших преобразований приходим к
Точно так же, как (10.25) было получено из (10.12), из (10.11) мы можем получить соотношение
Складывая (10.25) и (10.26), получаем
Теперь уже мы можем установить выполнение условия 2. Заметим, что в данном случае необходимо убедиться в справедливости неравенства
Учитывая (10.17) и то, что точка
Теперь с помощью определения
где последнее неравенство следует из леммы 10.2. Таким образом, установлена справедливость (10.28), а значит, и выполнение условия 2а (см. упр. 12), Выполнение условия 26 следует сразу же, так как, если Итак, выполнение условия 2 установлено Условие 1. Заметим, что условие 2 дает Замечания. Необходимо отметить, что из того, как определено В большинстве предшествовавших алгоритмов трудной частью было доказательство условия замкнутости, условия 3. Обычно выполнение условия 2 вытекало непосредственно. Для алгоритма Лагранжа имеет место противоположная ситуация. Справедливость условия 3 была установлена быстро, тогда как проверка условия 2 потребовала скрупулезного рассмотрения. Одной из причин этого отличия является то, что в методе Лагранжа ищется седловая точка; таким образом, мы решаем задачу на Можно также отметить, что для этого алгоритма мы доказали выполнение условия 1, условия компактности. В большинстве предшествовавших алгоритмов выполнение условия 1 не доказывалось, а предполагалось. Это объясняется тем, что в предыдущих алгоритмах постулирование условия 1 является геометрически обоснованным. Достаточно беглого рассмотрения, чтобы видеть, что такие алгоритмы, за исключением необычных ситуаций, должны вырабатывать точки, входящие в компактное множество. К сожалению, для метода Лагранжа нелегко получить такое геометрическое представление. Поэтому мы привели математическое доказательство справедливости условия 1. Ситуации, когда компактность не имеет места, рассмотрены в гл. 11.
|
1 |
Оглавление
|