Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
10.2. АЛГОРИТМ ЛАГРАНЖАВо всех методах, рассмотренных до этого, в качестве функции Предположения о седловой точке. Как было показано в теореме 2.18, если функция Лагранжа седловая точка существует. В явной форме это означает существование точки
Кроме того, предполагается, что существует единственная точка
(Простое условие, гарантирующее выполнение этого предположения, приведено в упр. 8.) Если определим множество Лемма 10.1. Пусть существует точка Доказательство. По определению седловой точки для любой
Из того, что
Но так как
т. е. все компоненты Теперь мы
Переходя к пределу в (10.8), получаем
Алгоритмическое отображение. Теперь определим алгоритмическое отображение. Пусть
является градиентом
— градиентом
где
Обратите внимание на то, что для определения алгоритмического отображения требуется как х, так и Я. Следовательно, Функция
Иначе говоря,
компактны для любых положительных у и Подходящая точка. Точка
Таким образом, Если точка Выбор Для заданной произвольной исходной точки
Согласно (10.14) множества, по которым выполняется минимизация, являются компактными, при этом полезно заметить, что требование
На основе непрерывной дифференцируемости функций
Лемма 10.2. Пусть Доказательство. Согласно вогнутости
Из
Но тогда комбинация соотношений (10.19) и (10.20) дает
По определению седловой точки и по (10.7), если
Наконец, из (10.21) и (10.22) получаем
Доказательство сходимости. Теперь установим сходимость процедуры Лагранжа, используя теорему сходимости А. Для полноты мы вкратце приведем все предположения, которые требуются для сходимости. Функции Условие 3. Условие 3 следует непосредственно, так как алгоритмическое отображение является непрерывной функцией. Условие 2. Для того чтобы доказать выполнение условия 2, требуются некоторые предварительные рассмотрения. Обозначим Возводя в квадрат (10.12), получаем
Кроме того, из (10.12), учитывая, что
Далее, используя (10.23) и (10.24), после небольших преобразований приходим к
Точно так же, как (10.25) было получено из (10.12), из (10.11) мы можем получить соотношение
Складывая (10.25) и (10.26), получаем
Теперь уже мы можем установить выполнение условия 2. Заметим, что в данном случае необходимо убедиться в справедливости неравенства
Учитывая (10.17) и то, что точка
Теперь с помощью определения
где последнее неравенство следует из леммы 10.2. Таким образом, установлена справедливость (10.28), а значит, и выполнение условия 2а (см. упр. 12), Выполнение условия 26 следует сразу же, так как, если Итак, выполнение условия 2 установлено Условие 1. Заметим, что условие 2 дает Замечания. Необходимо отметить, что из того, как определено В большинстве предшествовавших алгоритмов трудной частью было доказательство условия замкнутости, условия 3. Обычно выполнение условия 2 вытекало непосредственно. Для алгоритма Лагранжа имеет место противоположная ситуация. Справедливость условия 3 была установлена быстро, тогда как проверка условия 2 потребовала скрупулезного рассмотрения. Одной из причин этого отличия является то, что в методе Лагранжа ищется седловая точка; таким образом, мы решаем задачу на Можно также отметить, что для этого алгоритма мы доказали выполнение условия 1, условия компактности. В большинстве предшествовавших алгоритмов выполнение условия 1 не доказывалось, а предполагалось. Это объясняется тем, что в предыдущих алгоритмах постулирование условия 1 является геометрически обоснованным. Достаточно беглого рассмотрения, чтобы видеть, что такие алгоритмы, за исключением необычных ситуаций, должны вырабатывать точки, входящие в компактное множество. К сожалению, для метода Лагранжа нелегко получить такое геометрическое представление. Поэтому мы привели математическое доказательство справедливости условия 1. Ситуации, когда компактность не имеет места, рассмотрены в гл. 11.
|
1 |
Оглавление
|