Следовательно, так как
то
максимизирует
на
Точная нижняя грань. Точно так же, как
расширяет понятие максимума, для функций, которые не достигают своего минимума, используется операция
— точной нижней грани. Более строго,
Следствие 7.1.1. Пусть
— непрерывная функция и
где
— компактное множество. Предположим, что
для всех
Тогда
Доказательство (см. упр. 3).
В следующей теореме даны новые соотношения между непрерывностью, компактностью и
Но прежде чем сформулировать теорему, следует определить декартово произведение двух множеств. Для двух заданных множеств
и V декартово произведение
представляет собой множество всех точек
для
Примером могут служить множества
(см. упр. 1 и 2). Функция
будет определена для всех точек (и,
для которых
Теорема 7.2. Пусть
— непрерывная функция на
Определим функцию
соотношением
Если V компактно, то
непрерывна на
Доказательство. Пусть
необходимо показать, что
Покажем, что если дано произвольное подмножество индексов
то для некоторого
В силу произвольности К будет доказано равенство (7.8).
Благодаря компактности V и теореме 7.1 для некоторого