7.2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, КОМПАКТНОСТЬ И МАКСИМИЗАЦИЯ

В следующей важной теореме сформулированы условия, при которых вместо операций может быть использована операция шах. В частности, непрерывная функция достигает своего максимума на компактном множестве.

Теорема 7.1. Пусть — непрерывная функция и где — компактное множество. Тогда существует точка в которая максимизирует на

Доказательство. По определению существует такая последовательность в , что

Вследствие компактности существует К, такое, что где Тогда из непрерывности следует, что

и так как К — бесконечное множество положительных целых чисел, то

Резюмируя (7.3) — (7.5), получаем

Из определения для всех

Следовательно, так как то максимизирует на

Точная нижняя грань. Точно так же, как расширяет понятие максимума, для функций, которые не достигают своего минимума, используется операция — точной нижней грани. Более строго,

Следствие 7.1.1. Пусть — непрерывная функция и где — компактное множество. Предположим, что для всех Тогда

Доказательство (см. упр. 3).

В следующей теореме даны новые соотношения между непрерывностью, компактностью и Но прежде чем сформулировать теорему, следует определить декартово произведение двух множеств. Для двух заданных множеств и V декартово произведение представляет собой множество всех точек для Примером могут служить множества (см. упр. 1 и 2). Функция будет определена для всех точек (и, для которых

Теорема 7.2. Пусть — непрерывная функция на Определим функцию соотношением

Если V компактно, то непрерывна на

Доказательство. Пусть необходимо показать, что

Покажем, что если дано произвольное подмножество индексов то для некоторого

В силу произвольности К будет доказано равенство (7.8).

Благодаря компактности V и теореме 7.1 для некоторого

Ввиду компактности V существует также такое, что По определению

Переходя к пределу и учитывая непрерывность получаем для всех Значит, максимизирует по и

Благодаря непрерывности мы можем перейти к пределу также в (7.10) и получим

Тогда из (7.12) и (7.13) следует, что

что подтверждает справедливость (7.9).

В алгоритмах НЛП часто встречаются функции вида (7.7). Например, рассмотрим отображение которое определяется следующим образом. Пусть представляет собой Здесь Тогда — множество всех для таких, что

Другие примеры функции содержатся в упр. 4. Лемма 7.3 обобщает лемму 5.1 и ее доказательство остается в качестве упражнения.

Лемма 7.3. Пусть — непрерывная функция на . Допустим, что для компактного множества V

и определим точечно-множественное отображение соотношением

Тогда отображение Н замкнуто на

Примеры Н содержатся в упр. 4 и 5.

Эти результаты по непрерывности, компактности и будут иметь большое значение для последующих глав.

Упражнения

(см. скан)