1.6. ЗАДАЧА КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача квадратичного программирования явля-ётся просто задачей НЛП с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями. Она обычно формулируется следующим образом. Найти

где -мерный вектор, — симметричная матрица -мерный вектор и А — матрица

Из всех задач НЛП задача КП является, вообще говоря, самой легкой для решения. Действительно, она лишь немного сложнее, чем задача линейного программирования.

Пример. Финансист обдумывает, как распределить свои фонды между возможными инвестициями. Предположим, что инвестиция имеет ожидаемую прибыль на каждый вложенный доллар. Тогда, если — количество вклада в инвестицию, то ожидаемая прибыль выражается, как

Кроме того, портфель вкладов должен удовлетворять определенным ограничениям

где А — матрица и -мерный вектор. Эти математические ограничения отражают реальные ограничения финансиста, такие как суммарные фонды, лимиты на количества фондов, вложенных в данную категорию инвестиций и т. д.

Подход к решению задачи с позиций линейного программирования. Первым приближением к задаче финансиста было бы решить задачу ЛП максимизации ожидаемой прибыли при наличии ограничений

Формулировка квадратичного программирования. Может оказаться, что прибыль имеет довольно большую дисперсию. Приведенная выше модель линейного программирования не учитывает дисперсию и может привести к плохому решению о размещении вкладов.

Чтобы включить дисперсию в наш анализ, предположим, что ковариация между вкладами и на каждый доллар, вложенный в соответствующую категорию инвестиции. Тогда матрица ковариации имеет вид и дисперсия для любого портфеля х равна

Другая формулировка задачи финансиста заключается в выборе портфеля вкладов, который минимизирует дисперсию и еще обеспечивает ожидаемую прибыль не менее некоторого фиксированного количества с. Таким образом, мы приходим к задаче КП:

Упражнения

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Примечания и ссылки

1.1. По задаче НЛП были проведены широкие исследования. По введению можно познакомиться с работами Вагнера, Хиллиера и Либермана. Обзорные статьи Дорна (1963), Спанга; Зойтендейка (1966) включают некоторые основные результаты, полученные ко времени их публикации. Изложение НЛП с прикладным уклоном содержат работы Хедли (1960). Более классический подход к оптимизации может быть найден в работе Ханкока. Книги Абади, Грейвса и Вольфа представляют собой сборники статей, написанных ведущими специалистами в этой области. В книге Денниса обсуждаются некоторые аспекты НЛП с точки зрения инженера-электротехника. Отметим также работы Бержа и Гулиа-Хоури, Хедли (1964), Карлина, Кюнци и Крелле, Саати и Брама, Вайда; Уайлда и Байхтлера.

1.2. НЛП было применено к задачам внешней торговли и обмена Рейтером. Манн (1956) рассмотрел задачу об октановом числе смеси с точки зрения НЛП. Некоторые эффективные применения НЛП в теории закупок потребителя можно обнаружить у Семюэлсона (1938).

Классической работой по методу «затраты — эффективность» и «по близкой к нему задаче планирования программы и составления бюджета является книга Хитча и Мамкина. Химическая теория свободной энергии Гиббса изложена y Гиббса. Задача исследования свободной энергии Гиббса (как задача НЛП) часто называется задачей химического равновесия. По этому поводу см. работы Данцига, Джонсона и Уайта; Бринкли; Уайта, Джонсона и Данцига; Даффина, Питерсона и Зенера (см. также утр. 1.14).

1.3. Для дальнейших обсуждений этой задачи см. работу Мелинвуда, который рассматривает ее с классической точки зрения, и работу Стоуна, оперирующего числовыми данными. Общее рассмотрение теории «полезности приведено у Дебре (1954 г.).

1.4. Этот пример является преобразованием примера Даффина, Питерсона и Зенера (в их книге приведено доскональное исследование ГП, включающее многочисленные примеры, такие как проектирование трансформаторов, преобразование солнечной энергии в полезную форму и извлечение тепла из океанских вод). Интересное толкование ГП содержится также у Уайлда и Байхтлера.

1.5. Оптимальное управление является обширной темой, в этом кратком параграфе она лишь намечена. Классической работой является книга Понтрягина и др.; отлично изложена тема у Хестенеса. По поводу связи между ОУ и НЛП см. работу Канона, Каллума и Полака. Применения ОУ представлены у Лейтмана, а также у Коннорса и Тейхроева.

1.6. Пример построен на работе Марковица. Квадратичное программирование рассмотрено в гл. 8. Изложение этой темы содержится в книгах Бута (1964), Кюнци и Крелле.

Упражнения

5. Дальнейшее исследование регрессии см. у Мелинвуда.

7. Эта задача заимствована из работы Авриела и Уайлда; см. также работу Уайлда и Байхтлера.

Дополнительные замечания. Здесь невозможно рассмотреть все аспекты НЛП и все темы, связанные с НЛП. Например, целочисленное программирование, в задачах которого некоторые неизвестные должны быть целыми, само по себе является отдельной темой. Основополагающей здесь является работа Гомори. Более новые рассмотрения этой проблематики можно найти у Балинского, в гл. 9 у Абади, в работе Гловера.

Другой областью, которая не рассматривается в этой книге, является стохастическое программирование, где предполагается, что некоторые либо все параметры являются случайными. Подходу, названному программированием при условиях неопределенности, где вводится штраф за неопределенность, посвящена работа Данцига (1955), а также Уэтса. Программирование со случайными ограничениями (см. Чарнс и Купер (1959)) использовано для исследования факторов безопасности и надежности. Подход Тинтера полезен для экономического планирования. Интересная связь между программированием при неопределенности и ОУ установлена у Ван Слайка и Уэтса. В этой работе приведена большая библиография. Метод цепей Маркова приведен в работе Блэкуэлла и д’Эпенокса, Говарда, Манна (1960).

Тема динамического программирования также слишком обширна, чтобы рассмотреть ее в этой книге. Динамическое программирование — это общая теория оптимизации для задач, которые могут быть преобразованы в схему последовательного принятия решения на ряде этапов. Почти все задачи оптимизации могут быть преобразованы таким образом. Для вводной части этой темы см. работы Хиллиера и Либермана; Вагнера; Немхаузера. Основополагающими работами в этой области остаются книги Беллмана 1957); Беллмана (1961), Беллмана и Дрейфуса.