3.4. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Как было отмечено в гл. 1, задача оптимального управления (ОУ) является динамической задачей НЛП, охватывающей периодов времени, в течение которых управляющие переменные должны быть выбраны так, чтобы максимизировать целевую функцию. Условия Куна — Таккера для задачи имеют особенно интересную форму и приводят к принципу максимума.

Задача была сформулирована в следующем виде найти при где точка х является заданной. Здесь

Необходимые условия. Если выполняются условия регулярности, то необходимые условия Куна — Таккера, при которых точка решает задачу заключаются в следующем.

Прежде всего точка должна быть допустимой. Во-вторых, должны существовать вектор множителей и вектор которые удовлетворяют следующим трем условиям:

1) условиям сопряженности

2) условиям трансверсальности

3) условиям Гамильтона

где

В ОУ множители часто называются сопряженными переменными.

Гамильтониан. Как было отмечено ранее, верхний индекс означает период времени. Функция Гамильтона для отрезка времени определяется как

Следует обратить внимание на следующее: условия сопряженности требуют, чтобы градиент гамильтониана по фазовым переменным был равен нулю, а условия Гамильтона — чтобы был равен нулю градиент гамильтониана по переменным управления Как нетрудно видеть, гамильтониан тесно связан с функцией Лагранжа (упр. 6).

Принцип максимума. Предположим, что все функции Гамильтона при фиксированных и № являются вогнутыми функциями Тогда сформулированное выше условие Гамильтона эквивалентно следующему принципу максимума: гамильтониан удовлетворяет принципу максимума, если для любого

где берется по всем

При наличии предположения о вогнутости необходимым условием того, чтобы допустимая точка была оптимальной, является существование множителей X, которые удовлетворяют как условиям сопряженности, так и принципу максимума, и существование множителей а, удовлетворяющих условиям трансверсальности.

Упражнения

(см. скан)