2) условиям трансверсальности
3) условиям Гамильтона
где
В ОУ множители
часто называются сопряженными переменными.
Гамильтониан. Как было отмечено ранее, верхний индекс
означает период времени. Функция Гамильтона
для отрезка времени
определяется как
Следует обратить внимание на следующее: условия сопряженности требуют, чтобы градиент гамильтониана по фазовым переменным был равен нулю, а условия Гамильтона — чтобы был равен нулю градиент гамильтониана по переменным управления
Как нетрудно видеть, гамильтониан тесно связан с функцией Лагранжа (упр. 6).
Принцип максимума. Предположим, что все функции Гамильтона
при фиксированных
и № являются вогнутыми функциями
Тогда сформулированное выше условие Гамильтона эквивалентно следующему принципу максимума: гамильтониан удовлетворяет принципу максимума, если для любого
где
берется по всем
При наличии предположения о вогнутости необходимым условием того, чтобы допустимая точка
была оптимальной, является существование множителей X, которые удовлетворяют как условиям сопряженности, так и принципу максимума, и существование множителей а, удовлетворяющих условиям трансверсальности.
Упражнения
(см. скан)