Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 13.2. ЯВЛЕНИЕ ЗАКЛИНИВАНИЯ В МЕТОДЕ ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙКак отмечалось ранее, отсутствие замкнутости Лемма 13.1 представляет собой центральный результат, и мы воспользуемся ею не только при дальнейшем исследовании явления заклинивания, но также для доказательства сходимости методов возможных направлений. Лемма устанавливает, что метод возможных направлений не может одновременно удовлетворять некоторым трем условиям. Лемма 13.1. Рассмотрим метод возможных направлений для задачи НЛП, целевая функция вырабатывается последовательность
в) существует такой скаляр Доказательство. Из условия (б) следует, что существует
Тогда вследствие непрерывной дифференцируемости f должно существовать
если Выберем
где
Кроме того, согласно выбору
Отсюда, применяя разложение в ряд Тейлора, находим, что
где Тогда из (13.2) следует, что для достаточно больших
Теперь обратимся к лемме 4.1. Поскольку
Отсюда получаем для достаточно больших
Теперь выберем
Но методы возможных направлений монотонны, поэтому неравенство (13.7) невозможно. Таким образом, три условия леммы одновременно удовлетворяться не могут. Лемма доказана. Теорема 13.2, доказательство которой связано с доказательством леммы. 13.1, утверждает следующее: допустим, что некоторая подпоследовательность сходится к Теорема 13.2. Рассмотрим метод возможных направлений для задачи НЛП, в которой целевая функция Пусть существует произвольная подпоследовательность, сходящаяся к
существует такое
и
При этих предположениях последовательность в целом также сходится к Доказательство. Предполагая, что существует подпоследовательность, которая не сходится к Из предположений теоремы следует (см. упр. 13) существование таких положительных
Кроме того, для этих
Допустим существование подпоследовательности, не сходящейся к
Здесь у — фиксированное положительное число, а подпоследовательность Выберем Так
Применяя несложное преобразование и используя последовательно соотношение (13.12), разложение в ряд Тейлора, неравенства (13.8) и (13.9), получаем
Но из оценки
Рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 13.1, видим, что соотношение (13.13) не может иметь места для бесконечно больших Интерпретация. Для интерпретации теоремы допустим, что имеется подпоследовательность
Видно, что
Благодаря (13.14) последовательность
тоже должна сходиться к
Если направления Стояние Итак, подпоследовательность Обратите внимание на следующее положение: вся последовательность сходилась к На рис. 13.1 приведена ситуация, когда это не имеет места. Заклинивание. Выбор направлений
Рис. 13.3. Выбор Как избежать зйклйнивания. Одной из обычных Примером того, как могут возникнуть трудности, связанные с заклиниванием, служит также следующая процедура. Рассмотрим задачу
где При произвольно заданной точке
Иначе говоря, процедура согласует Напомним, что для сходимости были важными непрерывность или некоторое аналогичное свойство. Следует обратить внимание на то, что функция направления Действительно, допустим, что
и, воспользовавшись непрерывностью
Но процедура выбирает Сущность вопроса здесь заключается в том, что когда То, что эта процедура может не сходиться, показано на примере (упр. 1), в котором происходит заклинивание, и процедура не сходится. Кроме рассмотрения участков границы, как близких к х, так и проходящих через х, устранить заклинивание можно также «запоминанием» участков границы, на которые наталкивалась процедура при последних шагах, чтобы избежать встречи с ними до тех пор, пока вырабатываемые точки выйдут из этой трудной зоны.
|
1 |
Оглавление
|