Если разрешить эти уравнения, получим
Таким образом, в точке
условия Куна — Таккера справедливы, тем не менее эта точка не является оптимальной точкой. Следовательно, условия Куна — Таккера могут оказаться недостаточными для оптимальности точки.
Теорема достаточности. Докажем, что если целевая функция
псевдовогнута и ограничения
квазивогнуты, то условия Куна — Таккера — достаточные условия для оптимальности.
Теорема 2.15. Допустим, что в задаче НЛП с дифференцируемыми
целевая функция
псевдовогнута, а ограничения
квазивогнуты. Предположим, что х удовлетворяет условиям Куна—Таккера. Тогда х — решение задачи НЛП.
Доказательство. Выберем любую допустимую точку
Необходимо доказать, что
Так как ограничения квазивогнуты, то допустимая область выпукла. Тогда линейный отрезок между х и у состоит из допустимых точек или если
то
возможное направление и по лемме
где
соответствует ограничениям, активным в х.
Условия Куна — Такера — это просто утверждение того, что
для всех
таких, что
Но
удовлетворяет требованиям
, таким образом,
Из псевдовогнутости
Интерпретация. Теорема
имеет интересную геометрическую интерпретацию. Условия Куна — Таккера по существу утверждают, что в точке х производная
по любому возможному направлению
указывает на уменьшение. Из псевдовогнутости целевая функция в этом направлении уменьшается. Если мы выберем любую допустимую точку у, то из-за выпуклости множества ограничений направление
возможное. Так как производная по направлению указывает на уменьшение
в этом направлении, то
упр. 18, где приведен связанный с этим и более общий результат.)
В следующем параграфе рассматриваются теоремы двойственности, которые не только важны сами по себе, но также могут быть использованы для вывода достаточных условий.