1.5. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Оптимальное управление (ОУ) используется в многочисленных динамических технических и экономических задачах, требующих выбора управления. Некоторые переменные управления определяют эволюцию системы во времени и должны быть выбраны так, чтобы максимизировать (или минимизировать) целевую функцию.

В задаче существенны два типа переменных: переменные управления которые уже упоминались, и переменные состояния которые полностью описывают систему в момент времени При заданном состоянии х в момент времени мы определяем изменение состояния от момента к моменту векторной функцией преобразования . Так, в векторных обозначениях развитие системы от момента времени к моменту представляется как

Обратите внимание на то, что изменение состояния зависит как от состояния, так и от управления. Функция прибыли (или затрат) также связана с состоянием и использованием управления Чтобы завершить постановку задачи, необходимо определить начальное состояние системы Кроме того, может быть задано также конечное состояние системы явно или не явно, требованием, чтобы вектор удовлетворял определенным уравнениям где

Задача оптимального управления. Теперь можно сформулировать задачу как нахождение

при

где задано (напомним, что и — векторы).

Другими словами, в задаче выбором соответствующих переменных управления максимизируется суммарная прибыль за периодов. Однако система должна удовлетворять определенным начальным условиям совершать эволюцию согласно требованиям и достигнуть заданного конечного состояния удовлетворяющего уравнению

Для некоторых более общих задач могут иметь место ограничения

Также возможно, что допускаются только определенные состояния, так что переменные состояния сами ограничены:

Задача исследуется в гл. 3, где развит принцип максимума Однако в заключение этой части рассмотрим следующий пример.

Пример. Беспилотная ракета должна пройти в космическом пространстве от одного хранилища горючего до другого расстояние в 1 млн. км. Предположим, что на ракету не действуют никакие внешние силы и она движется по прямолинейной траектории без трения. В дискретных точках через каждый 100 000 км тяга ракеты может быть скорректирована без потерь времени (в любых практических целях), но между этими контрольными точками изменение тяги

ракеты невозможно. Хотя тяга и ограничена, желательно пройти миллион километров в минимальное время. Как нужно управлять тягой ракеты?

Пусть — мгновенная скорость ракеты (в километрах в при прохождении ею контрольной точки. Так как ракета стартует в начальной контрольной точке и останавливается в 11-й точке,

Пусть — постоянная тяга при движении ракеты от контрольной точки до Если — масса ракеты в соответствующих единицах и а — постоянное ускорение между точками и то по второму закону Ньютона

Так как расстояние между контрольными точками составляет 100 000 км, то из уравнения движения

где — время движения от контрольной точки до Кроме того,

Учитывая, что время положительно, и полагая из выражения (1.10) получаем

Тогда уравнение (1.11) принимает вид

Упрощая это выражение и используя уравнение (1.9), получаем

Тогда задача минимизации общего времени принимает вид: Найти

при условиях

где — соответственно максимально допустимые значения гяги в направлении и противоположном.