1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Геометрическое программирование (ГП) — частный случай НЛП — оказался особенно полезным в технике и в физических науках. В качестве введения рассмотрим следующий пример.

Пример. Пусть вам как вице-президенту маленькой, но динамичной химической компании пришлось исследовать вопрос

о контейнерах для транспортировки. Контейнеры потребителями не возвращаются, поэтому, хотя они к упрощают транспортировку, однако увеличивают и затраты на сбыт. Предположим, вы решили рассмотреть конкретную задачу, а именно: потребителю ежемесячно должно быть отправлено химикалий. Продукцию следует отправлять в прямоугольных контейнерах длиной шириной и высотой Боковые стенки и дно контейнеров делают из отходов, которые не требуют денежных затрат. Однако ежемесячно для каждого контёйнера может быть использовано только этого материала. Материал для двух других стенок контейнера стоит 2 долл. за квадратный метр, а для верха — 3 долл. за квадратный метр. Кроме того, стоимость транспортировки одного контейнера составляет 20 центов. Вы должны определить, сколько контейнеров и каких размеров требуется для транспортировки продукции с наименьшими возможными затратами.

Минимизируем суммарные затраты (транспортировка плюс затраты на две стенки и верх для контейнеров) при ограниченности отходов

(см. скан)

Напомним, что индекс означает транспортирование.

Общая формулировка. Теперь приведем общую математическую формулировку задачи Основным элементом этого построения является позиномиальная функция. Функция где является позиномом, если она может быть представлена как сумма степенных членов, имеющих форму

где — постоянные;

Требование положительности привело к появлению приставки «пози» в слове «позином», а благодаря положительности выражение определено и для дробных Таким образом, является позиномом, если

где Здесь П означает произведение.

Задача геометрического программирования. Теперь мы можем сформулировать задачу ГП.

Для данных позиномов определить при котором достигается

Предлагается в качестве упражнения (см. упр. 1.8) показать, что задача ГП может быть переформулирована после преобразования функций как задача нахождения при

где — неизвестные, а вектор и матрица А размера заданы. Кроме того, Обозначение выражает, конечно, логарифм по основанию е.

В гл. 3 мы покажем, как задача ГП, кажущаяся довольно труднорешаемой, может быть значительно упрощена.