1.2. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Экономика, сфера деловых отношений и наука управления государством. Основной целью НЛП и, в сущности, этой книги является исследование методов решения задачи Вместе с тем НЛП содержит также эффективную схему для формализованной постановки задач, хотя в ряде случаев некоторые из привлекаемых функций не могут быть определены, а иногда невозможно точно вычислить оптимальную точку.

Например, НЛП тесно связано с основной экономической задачей. В экономике рассматриваются задачи о распределении ограниченных ресурсов таким образом, чтобы либо максимизировать эффективность, либо, если изучается потребитель, максимизировать потребление. НЛП, очевидно, соответствует этой схеме. Целевая функция здесь может отражать эффективность, которую мы пытаемся максимизировать, в то время как ограничения могут выражать условия, вызванные недостатком ресурсов. Аналогично целевая функция может быть математическим выражением потребления. Таким образом, имеется прямая связь между задачей НЛП и основной экономической задачей.

В такой общей постановке определение точных форм функций может оказаться невозможным; однако в конкретных применениях точный вид всех функций часто может быть определен непосредственно. Рассмотрим некоторое промышленное предприятие, например производящее пластмассы. Здесь за эффективность может быть принята прибыль, а ограничения интерпретированы как наличная рабочая сила, производственные площади, производительность оборудования и т. д. В таком конкретном случае обычно имеются исходные количественные данные, и тогда задача НЛП может быть точно сформулирована и решена.

Метод «затраты—эффективность» также укладывается в схему НЛП. Метод был разработан для использования при принятии решений в управлении государством, когда вместо функции прибыли имеется общая функция эффективности — благосостояния. Здесь возникают две тесно связанные задачи НЛП: либо максимизация эффекта при ограниченных затратах, либо минимизация затрат при условии, чтобы эффект был выше некоторого минимального уровня (см. упр. 1.2). При огромном количестве данных, имеющихся в распоряжении различных государственных учреждений, конкретные задачи метода «затраты — эффективность» часто могут быть хорошо смоделированы с помощью НЛП. Если даже проблема слишком расплывчата для формулировки в виде задачи НЛП, то часто с помощью НЛП удается получить первые приближения или же решить различные ее части.

Упомянутые применения НЛП концентрированы на задачах о принятии решений. Действительно, существенная сторона НЛП заключается в том, что оно является подспорьем индивидууму — исполнителю или человеку, принимающему государственное решение. Конечно, опытный человек, принимающий решение, не считает, что решение задачи НЛП непосредственно является лучшшм ответом на вопросы реального мира. Полученное решение является, естественно, лишь рекомендуемым и принимающий его должен исследовать предположения и точность постановки задачи НЛП, прежде чем принять окончательное решение. Несмотря на это, многие задачи программирования прошли проверку на практике и решение их, подсказанное оптимальной точкой, применяется почти без каких-либо изменений.

Решение уравнений. Важность применения НЛП в математике, физике и общественных науках объясняется тем, что НЛП является, возможно, самым мощным методом решения систем уравнений. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что необходимо решить систему уравнений

Построим целевую функцию

Ясно, что тогда и только тогда, когда —решение системы.

Решение этой задачи НЛП минимизации без ограничений на переменные дает, таким образом, решение системы уравнений (см. упр. 1.3).

Применения в науке. Очевидные задачи НЛП часто возникают в науке. В физике, например, целевой функцией может быть потенциальная энергия, а ограничениями — различные уравнения движения. При этом минимизация целевой функции определит устойчивое состояние системы. Соответственнно изменяя целевую функцию, можно определить состояние с наибольшей тепловой энергией, кинетической энергией и т. д. В химии близкой задачей является определение молекулярной структуры, минимизирующей свободную энергию Гиббса. В общественных науках и психологии возникает задача минимизации социальной напряженности, когда индивидуумы или группы ограничены тем, что должны следовать определенным законам поведения.

Предостережение. Преобразование реальной задачи в задачу НЛП в значительной степени является искусством, но это — искусство, направляемое теорией. На основе теории прежде всего формируется схема, которая облегчает постановку задачи. Не менее важно то, что теория точно указывает, какая из многих возможных формулировок задачи решается наиболее эффективно, а какая не может быть решена вовсе. Действительно, теория вскрывает, например, что в практике может оказаться почти невозможным вычислить оптимальную точку и придется довольствоваться намного меньшим. Большая часть этой книги посвящена изложению этой теории.