Главная > Нелинейное программирование. Единый подход
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 14. АЛГОРИТМЫ ОТСЕЧЕНИЙ

В этой главе представлено три алгоритма отсечений — вогнутый метод отсечений, метод опорной гиперплоскости и двойственный метод отсечений. Методы отсечений интересны тем, что алгоритмическое отображение по данному множеству, отсекая от него часть,

образует новое множество. Таким образом, точки на которые действует отображение, представляют собой множества в После того как мы дадим общую теорию этих алгоритмов, будет приведена новая теорема сходимости специально для методов отсечений и доказана сходимость этих трех алгоритмов.

14.1. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ ОТСЕЧЕНИЙ

Алгоритмы отсечений действуют на , которые представляют собой множества в По заданному множеству алгоритм определяет полупространство тогда за следует

Цель этих алгоритмов заключается в определении точки из некоторого множества где — или допустимая область, или некоторое другое множество, связанное с задачей нелинейного программирования. Но вследствие того, что обычно трудно оперировать с множеством в алгоритмах вместо непосредственного рассмотрения в начале процедуры берется более простое множество которое аппроксимирует . С помощью и специального отображения Г, которое рассматривается дальше, мы вычисляем такую тестовую точку

«что

Точка подвергается определенному тесту, называемому тестом решения, чтобы определить, входит ли она в Если эта точка проходит тест, то процедура завершает поиск, так как мы уже пришли к точке в

Если не проходит тест решения, то применяем второе отображение и определяем точку

С помощью строим полупространство Тогда Это полупространство обладает следующим свойством: Тогда из (14.3)

где символ означает, что содержится в но не совпадает с ним.

Множество аппроксимирует лучше, чем . С помощью определяется точка

Если проходит тест решения, то поиск завершается. В противном случае процедура продолжается аналогичным образом.

В общем случае по данному определяется тестовая точка Если проходит тест решения, то поиск завершается; если нет, то определяем точку и соответствующее множество Тогда Очевидно,

Обратите внимание также на то, что, хотя алгоритм вырабатывает Поэтому из (14.4) следует, что

В общем случае множества имеют вид

где — функции

Теперь можно строго определить алгоритмическое отображение А для методов отсечений.

Как действует метод отсечений. В каждом данном алгоритме будет задан тест решения для который построен так, что любое которое проходит тест, решает задачу НЛП.

Теперь допустим, что задана точка и мы хотим определить последующую точку

Сначала с помощью Г определим тестовую точку

Если проходит тест решения, то поиск завершается. В противном случае с помощью отображения находим

и определяем множество где

для функций Далее по соотношению формируем Чтобы можно было начать применение процедуры, задается множество

Короче говоря, по данному определяется Если то с помощью определяется множество и далее

Таким образом, вырабатывается последовательность (Необходимо отметить, что условие не требуется. Поэтому не обязательно является настоящим полупространством, хотя обычно Кроме того, достаточно, если отображение будет определено лишь для тех которые не проходят тест решения.)

Теперь может быть сформулирована теорема сходимости для методов отсечений. Мы рассмотрим лишь случай, когда вырабатывается бесконечная последовательность так как случай, когда поиск завершается через конечное число шагов, является тривиальным. Обозначения здесь такие же, как и раньше.

Теорема сходимости для методов отсечений. Пусть некоторый алгоритм отсечений вырабатывает последовательность множеств и соответствующие последовательности точек Предположим, что выполнены следующие требования:

1) все точки входят в некоторое компактное множество и все точки также содержатся в некотором компактном множестве;

2) для любого из следует, что

3) для любого которое не проходит тест решения, отображение замкнуто. Кроме того, функции непрерывны;

4) если не проходит тест решения, то для любого

Если алгоритм удовлетворяет этим четырем условиям, то для некоторого где проходит тест решения.

Доказательство. Из условия 4 видно, что все существуют и непусты. Благодаря условию 1 должно существовать К, для которого

Используя условие 2, находим, что всех или в явной форме для всех

Тогда из выражения (14.9) имеем , привлекая условия 3 и (14.10), находим, что

или эквивалентно

Теперь допустим, что не проходит тест решения. Применяя условие 3 и учитывая, что А — замкнутое отображение, получаем Но для такого условие 4 гарантирует, что

Так как, выражения (14.12) и (14.13) противоречат друг другу, то должно пройти тест решений. Теорема доказана.

Замечания. Условие 1 обеспечивает наличие у последовательностей необходимых свойств. Условия 2 и 4 в совокупности дают то, что действительно «отсекает» достигая этим строгого улучшения и . В то же время благодаря второй части условия 4 полупространство не отсекает слишком много. Условие 3 содержит требования непрерывности и замкнутости, которые, как отмечалось ранее, способствуют сходимости.

Отображение Г является задачей линейного программирования. Изучение трех алгоритмов отсечений мы начнем с исследования отображения Г, которое одинаково для всех этих методов. В частности, для данного множества дает решение подзадачи

Более точно — решение задачи Для всех рассматриваемых методов максимизирующая точка будет существовать.

Во всех грех методах множество имеет вид Следовательно, задача определения представляет собой задачу ЛП. Более того, так как то из выражения (14.6) следует, что задача определения тоже является задачей

ЛП. Ясно, что задача определения также представляет собой задачу ЛП. Таким образом, эти три метода отсечений сводят решение задачи НЛП к решению некоторой последовательности задач

1
Оглавление
email@scask.ru