Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.3.1. Некоторые важные следствия вогнутости в нелинейном программированииДостаточность для задачи без ограничений. Как показывает следующее утверждение, если целевая функция задачи без ограничений вогнута, то необходимые условия оптимальности являются также и достаточными. Утверждение 2.6. Пусть Доказательство. Предположим, что
Таким образом, х максимизирует Выпуклость допустимой области с вогнутыми ограничениями. Прежде чем вывести условия оптимальности для задачи с ограничениями, отметим, что при установлении их достаточности в этом более общем случае вогнутость будет играть ту же роль, что и в задачах без ограничений. В этом отношении большое значение имеют следующая лемма и утверждение, которые показывают, что если все ограничения вогнуты, то допустимая область Лемма 2.7. Пусть Доказательство. Пусть
Значит, Утверждение 2.8. Пусть Доказательство. Примем Лемма 2.7 и утверждение 2.8 устанавливают, что если ограничения — вогнутые функции, то допустимая область выпукла. Дополнительные свойства. Перечислим некоторые дополнительные свойства вогнутых функций и выпуклых множеств (упр. 5): а) б) полупространство в) линейная функция г) пусть А — матрица размеров д) пусть
также вогнута; е) пусть
где у — фиксированные скалярные величины, ж) предположим, что
Где Тогда
Псевдовогнутые и квазивогнутые функции. Для многих применений требуются лишь некоторые, а не все свойства вогнутых функций. В таких ситуациях можно использовать функции, которые сохраняют требуемые свойства и в то же время определены не столь жестко, как вогнутые функции. Как было отмечено выше, два свойства вогнутых функций особенно ценны в НЛП: первое — из Псевдовогнутая функция. Дифференцируемая функция Доказательство следующей леммы, устанавливающей, что псевдовогнутая функция обладает первым из упоминавшихся выше свойств, предлагается в качестве упр. 7. Лемма 2.9. Пусть Обратите внимание на то, что вогнутая функция является псевдовогнутой, а псевдовогнутая функция может не быть вогнутой (упр. 8). Квазивогнутая функция. Определим квазивогнутую функцию. Функция
Мы назовем функцию Лемма 2.10. Функция Доказательство. Пусть
Таким образом, Предположим теперь, что
Положим
Тогда по определению где
Отсюда, принимая во внимание выражения (2.11) и (2.12), получаем
Любая псевдовогнутая функция, а также любая вогнутая функция являются квазивогнутыми. Следовательно, псевдовогнутая функция обладает также и вторым свойством. Однако квазивогнутая функция не обязательно является псевдовогнутой (рис. 2.2 и упр. 8). Действительно, если
Рис. 2.2. Функции: а — псевдовогнутые функции; Квазивогнутые и псевдовогнутые функции так же, как и вогнутые функции, окажутся чрезвычайно полезными в остальной части этой книги.
|
1 |
Оглавление
|