Глава 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, КОМПАКТНОСТЬ И ЗАМКНУТОСТЬ

Эта краткая глава содержит несколько математических. результатов, полезных в остальной части книги. Мы изучаем операции и показываем, как они расширяют соответственно операции Доказываются также некоторые теоремы о сохранении непрерывности и замкнутости при использовании операции шах. Эти теоремы будут неоднократно использованы в после дующих главах.

7.1. МАКСИМУМ И ВЕРХНЯЯ ГРАНЬ

Выше, при максимизации функции на множестве мы предполагали, что в существует точка такая, что Почти для всех практических случаев это предположение справедливо. Однако чтобы сохранить математическую строгость, нам необходимо выяснить, когда такая - максимизирующая точка существует, а когда не существует. Оказывается,

что при этом весьма существенны понятия непрерывности и компактности.

Примеры.

Сначала приведем некоторые примеры для

Для максимум достигается в точке Для (б) ни в какой точке множества максимум не достигается, так как точка не принадлежит множеству. Для и ткже не существует вещественного числа при котором достигается максимум (так как не являются вещественными числами, они, конечно, исключаются). Если быть точным, то математическая операция максимизации для не определена. Вместо этого здесь должно быть введено понятие точной верхней грани которое представляет собой обобщение понятия максимума.

Определение. Пусть — функция. Для множества определим , где является точной верхней гранью на , если

а) для

б) существует последовательность такая, что

Обсуждение. Предполагается, что скалярная величина может иметь также значения или

Допустим, как в случае что существует максимизирующая точка Тогда и последовательность определяется следующим образом: для всех

Таким образом, когда существует максимизирующая точка является и точной верхней гранью и максимумом.

Случаи теперь могут быть видоизменены:

В случае (б) последовательность может быть взята в виде

в случаях и можно положить

Важно обратить внимание на то, что в (7.1) и не входит в рассматриваемое мвожество. В (7.1) а 1 не входит в множество Точно так же в входит в соответствующие множества для и