5.3. ЗАМКНУТОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ М1
Напомним, что, как следует из результатов гл. 4, для доказательства сходимости алгоритма мы должны установить замкнутость отображения А. Однако если проверено, что как
так и
— замкнутые отображения, то из теорем гл. 4 вытекает, что А будет замкнутым.
Установим, что отображение
замкнуто.
Лемма 5.1. Пусть
— непрерывная функция. Тогда
замкнуто, если интервал
является замкнутым и ограниченным.
Доказательство. Пусть
Запишем
где
— оптимизирующее значение
Вследствие того, что
а множество
замкнуто и ограничено, т. е. компактно, должна существовать подпоследовательность
где
входит в
Теперь для любого фиксированного,
по определению
Воспользовавшись непрерывностью
мы можем перейти к пределу в этом неравенстве и получить
Но так как (5.3) справедливо для любого
то для данного
имеем
С другой стороны, так как
максимизирует
по всем
где
то
Из выражений (5.4) и (5.5) получаем
Эта лемма значительно упрощает доказательство замкнутости отображения
По существу нам остается лишь доказать, что
замкнуто и затем применить результаты гл. 4, чтобы установить замкнутость А.
Пример отображения
Пример, иллюстрирующий содержание леммы 5.1, когда
для всех к, показан на рис. 5.1. Здесь
где а чрезвычайно велико. Овалы соответствуют линиям уровня функции, а
Ясно, что
Рис. 5.1. Иллюстрация леммы
Требование ограниченности
Предположение о том, что интервал 1 ограничен, играет в лемме важную роль. Рассмотрим второй пример, подобный приведенному выше, за исключением того, что
так что
не является ограниченным. Пусть направление
и
Для этого примера точки
те же, что и на рис. 5.1, так как обе задачи
имеют одно и то же решение
где
Для обоих примеров точки
совпадают. Однако при
для второго примера
так что
Следовательно, если
неограничен, то отображение
может быть незамкнутым.
Для третьего примера предположим опять, что
но I пусть будет ограниченным, скажем,
.
Тогда вместо рис. 5.1 получим рис. 5.2. В этом случае
замкнуто в точке
Ограниченность
устраняет трудность при
Видно, что длина интервала
стремится к нулю, так как
Таким образом, если даже
то здесь не возникает затруднения (упр. 5).
Итак, видна важная роль, которую играет ограниченность
(эта роль аналогична роли, которую играет
Рис. 5.2. Иллюстрация леммы
, а фиксировано).
предположение леммы 4.2, обеспечивающее соответствующее поведение последовательностей). Однако в упр. 5 и 6 предложены способы, позволяющие избежать необходимость в требовании ограниченности
После того как леммой 5.1 установлена замкнутость отображения
исследуем различные алгоритмы, чтобы, определив соответствующие отображения, доказать, что
замкнуто, и установить алгоритмическую сходимость.