5.3. ЗАМКНУТОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ М1

Напомним, что, как следует из результатов гл. 4, для доказательства сходимости алгоритма мы должны установить замкнутость отображения А. Однако если проверено, что как так и — замкнутые отображения, то из теорем гл. 4 вытекает, что А будет замкнутым.

Установим, что отображение замкнуто.

Лемма 5.1. Пусть — непрерывная функция. Тогда замкнуто, если интервал является замкнутым и ограниченным.

Доказательство. Пусть

Запишем

где — оптимизирующее значение

Вследствие того, что а множество замкнуто и ограничено, т. е. компактно, должна существовать подпоследовательность где входит в

Теперь для любого фиксированного, по определению

Воспользовавшись непрерывностью мы можем перейти к пределу в этом неравенстве и получить

Но так как (5.3) справедливо для любого то для данного имеем

С другой стороны, так как максимизирует по всем где то

Из выражений (5.4) и (5.5) получаем

Эта лемма значительно упрощает доказательство замкнутости отображения По существу нам остается лишь доказать, что замкнуто и затем применить результаты гл. 4, чтобы установить замкнутость А.

Пример отображения Пример, иллюстрирующий содержание леммы 5.1, когда для всех к, показан на рис. 5.1. Здесь где а чрезвычайно велико. Овалы соответствуют линиям уровня функции, а Ясно, что

Рис. 5.1. Иллюстрация леммы

Требование ограниченности Предположение о том, что интервал 1 ограничен, играет в лемме важную роль. Рассмотрим второй пример, подобный приведенному выше, за исключением того, что так что не является ограниченным. Пусть направление и

Для этого примера точки те же, что и на рис. 5.1, так как обе задачи

имеют одно и то же решение

где

Для обоих примеров точки совпадают. Однако при для второго примера так что

Следовательно, если неограничен, то отображение может быть незамкнутым.

Для третьего примера предположим опять, что но I пусть будет ограниченным, скажем, .

Тогда вместо рис. 5.1 получим рис. 5.2. В этом случае замкнуто в точке Ограниченность устраняет трудность при Видно, что длина интервала стремится к нулю, так как Таким образом, если даже то здесь не возникает затруднения (упр. 5).

Итак, видна важная роль, которую играет ограниченность (эта роль аналогична роли, которую играет

Рис. 5.2. Иллюстрация леммы , а фиксировано).

предположение леммы 4.2, обеспечивающее соответствующее поведение последовательностей). Однако в упр. 5 и 6 предложены способы, позволяющие избежать необходимость в требовании ограниченности

После того как леммой 5.1 установлена замкнутость отображения исследуем различные алгоритмы, чтобы, определив соответствующие отображения, доказать, что замкнуто, и установить алгоритмическую сходимость.