Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.3. ВОГНУТОСТЬ, ВЫПУКЛОСТЬ, ПСЕВДОВОГНУТОСТЬ И КВАЗИВОГНУТОСТЬВогнутые функции особенно важны в НЛП. Для них, как будет видно дальше, необходимое условие оптимальности х как в задачах с ограничениями, так и без ограничений является также достаточным. Выпуклые множества. Так как вогнутые функции обычно определяются на выпуклых множествах и связаны с ними, мы сначала остановимся на этом классе множеств. Рассмотрим две точки
при изменении 0 от 0 до 1. Выпуклые множества обладают тем свойством, что отрезок, соединяющий любые две точки множества, также принадлежит этому множеству. Более точно, множество
Рис. 2.1. Множества и функции: а — выпуклые множества; из отрезка Следующая полезная лемма о выпуклых множествах утверждает, что при пересечении множеств выпуклость сохраняется. Лемма 2.2. Пусть
также выпукло. Доказательство. Если
Опять по определению пересечения
Вогнутые и выпуклые функции. Теперь мы можем определить вогнутые и выпуклые функции. Функция
для любого 0 из отрезка Функция пиала изображает вогнутую функцию. Линейная функция является одновременно и вогнутой и выпуклой. Другие примеры даны на рис. 2.1, а частный случай вогнутой функции, называемой строго вогнутой, рассмотрен в упр. 2.9. Для простоты результаты этого параграфа сформулируем в. терминах вогнутых функций. Читатель без затруднений сможет получить аналогичные результаты для выпуклых функций. Одним из наиболее важных свойств вогнутых функций является то, что их неотрицательная линейная комбинация также вогнута. Лемма 2.3. Пусть все
вогнута на С. Доказательство. Благодаря вогнутости для Так как
Суммируя, получаем
Характеристика вогнутости. Для дифференцируемой функции Лемма 2.4. Пусть
для любых х и у. Доказательство. Предположим, что
Отсюда для любого
Перейдя к пределу при
На основе дифференцируемости h и выражения (2.1) левая часть этого неравенства представляет собой Теперь допустим, что
Выбирая
Учитывая, что
и
и полагая
и
Умножая (2.7) на
Лемма дает другое определение вогнутости для дифференцируемых функций. По существу это определение утверждает, что линейная аппроксимация вогнутой функции дает ей оценку сверху. Обратите внимание на то, что по первоначальному определению линейная интерполяция дает оценку вогнутой функции снизу. Наличие непрерывных вторых производных Лемма 2.5. Пусть Доказательство. Разложение
где Ясно, что
тогда и только тогда, когда
Если гессиан отрицательно полуопределен, то выражение (2.9) справедливо. Тогда согласно (2.10) и лемме 2.4 функция Теперь положим, что
Благодаря непрерывности гессиана мы можем выбрать у столь близким к х, что для всех
Но тогда, используя (2.9), получаем, что (2.10) не может иметь места. Однако лемма 2.4 требует выполнения условия
|
1 |
Оглавление
|