Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.6. РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯПрямое доказательство замкнутости алгоритмического отображения А проводится обычно с трудом, так как А может быть составлено из нескольких частей. В этом параграфе мы покажем, как упростить это доказательство; вместо замкнутости А докажем замкнутость каждой из составных частей А. Например, в гл. 5 отображение А будет разложено на два отображения: D и М. Отображение Композиция отображений. Чтобы сделать эти соображения точными, мы должны ввести понятие «композиция отображений». В первую очередь, напомним определение составной функции. Пусть даны две функции: Мы выразим композицию двух отображений аналогично. Пусть Композиция Более строго составное отображение В качестве примера определим
Здесь Композиция сохраняет замкнутость. Допустим, что алгоритмическое отображение А может быть выражено в виде композиции нескольких отображений, каждое из которых замкнуто. Следующая лемма устанавливает, что при определенных условиях А также будет замкнутым. Эта лемма может рассматриваться также как обобщение теоремы, утверждающей, что композиция двух непрерывных функций непрерывна. Итак, лемма утверждает, что композиция сохраняет замкнутость. Лемма 4.2. Пусть
Тогда композиция Доказательство. Пусть Выберем
По предположению Аналогично
К сожалению, лемма 4.2 не просто утверждает, что композиция двух замкнутых отображений замкнута. Требуется дополнительное предположение, благодаря которому сходится некоторая подпоследовательность последовательности Следствие 4.2.1. Пусть Следствие 4.2.2. Пусть С: Предположим, что С непрерывна в Замкнутость арифметических композиций. Лемма 4.2 и ее следствия могут быть применены к некоторым важным отображениям. Пусть Сумма отображений
Например,
Скалярное произведение отображений
Множество А представляет собой множество скалярных произведений Если Как и следовало ожидать, эти три операции дают замкнутые отображения, но, как и в лемме 4.2, только Любое из этих трех отображений может быть выражено в виде композиции двух отображений. В качестве примера рассмотрим сумму отображений. В начале определим точечно-множественное отображение
Здесь
При этом отображение-сумма Следующая лемма непосредственно следует из следствия 4.2.1. Лемма 4.3. Пусть отображения Аналогичные леммы имеют место и для двух других рассмотренных отображений. Однако в связи с тем, что эти три отображения имеют разные структуры, соответствующее поведение последовательностей может быть обеспечено гипотезами, более слабыми, чем компактность. Доказательство следующих лемм составляет содержание упр. 11. Лемма 4.4. Пусть отображения а. либо В, либо С — непрерывная функция в точке Лемма 4.5. Пусть отображения В: а. в точке б. если в. Лемма 4.6. Пусть отображения а. в точке б. если в. если г. множества V и д. либо В — непрерывная функция и Значение композиции. Вместо того чтобы доказывать замкнутость А, мы будем доказывать замкнутость отображений, составляющих Упражнения(см. скан) (кликните для просмотра скана) (см. скан) Примечания и ссылкиПриведенные здесь понятия алгоритма и сходимости основаны на работе Зангвилла Дальнейшее рассмотрение математических свойств замкнутых отображений можно найти у Бержа, где вскрыта также тесная связь между замкнутыми и полунепрерывными сверху отображениями. Рассмотрение компактности можно найти в стандартных курсах, таких, как Апостол; Келли; Симмонс. Рис. 4.3 предложен доктором Вильямсом.
|
1 |
Оглавление
|