Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ УСЛОВИЙ КУНА—ТАККЕРА К ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ

В гл. 2 мы вывели как условия Куна — Таккера, так и теорию двойственности, чтобы определить, когда заданная точка является оптимальной. Однако условия Куна — Таккера и теория двойственности представляют самостоятельный интерес, и в этой главе мы применим их к некоторым интересным и значительно отличающимся друг от друга задачам. Сначала дадим интерпретацию теории двойственности в терминах конкурентной рыночной ситуации. Затем множители в условиях Куна—Таккера будут рассмотрены как некоторые маргинальные изменения целевой функции. В качестве другого применения теории двойственности приведем упрощение задачи геометрического программирования (ГП). Наконец, мы используем условия Куна — Таккера для получения принципа максимума оптимального управления.

3.1. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА И ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Функция Лагранжа и факт существования для нее седловой точки имеют различные экономические интерпретации. Особенно интересная интерпретация связана с конкурентным взаимодействием между промышленностью и рынком. Промышленность стремится максимизировать прибыль от своей продукции. Этой цели противостоит рынок, который из-за того, что он платит предприятиям промышленности, добивается минимизации прибыли промышленности. Рынок управляет ценами на сырье, которое промышленность приобретает на рынке.

Пусть задача НЛП описывает цель промышленности: максимизацию дохода от реализации ее продукции. Таким образом, целевая функция представляет собой чистый доход от продажи продукции при уровне производства в промышленности, равном х. Кроме того, промышленности требуется видов сырья, при этом наличное количество сырьевого материала вида составляет

Определим как количество сырья вида которое необходимо при уровне производства, равном х. Кроме того, пусть Если то после производства остаются излишки сырья, если же величина отрицательна, то первоначального количества сырья было недостаточно для достижения уровня производства, равного х. В терминах НЛП задача промышленности — максимизация дохода от конечной продукции, принимает вид: при .

Этой схеме хорошо подходит функция Лагранжа. Пусть представляет собой цену, по которой единица сырья вида покупается или продается на рынке. При промышленность может продавать излишки сырья и получать дополнительную прибыль Аналогично, если то промышленность может закупить единиц сырья, затратив единиц денег. Такая закупка позволит промышленности обеспечить себя количеством сырья, достаточным для уровня производства, равного х. Функция Лагранжа

представляет собой суммарную прибыль промышленности. Она включает доход от конечной продукции и чистую прибыль либо от продажи излишков сырья, либо от закупок сырья для покрытия его нехватки. Следовательно, функция Лагранжа представляет собой издержки рынка.

При данных ценах, т. е. установленных рынком, промышленность стремится максимизировать свою прибыль выбором уровня производства х. Таким образом, промышленность формирует , что является двойственной функцией.

Так как прибыль извлекается из рынка, то последний пытается установить соответствующие цены при заданном уровне производства. Следовательно, рынок формирует прямую функцию

Если существует двойственное равенство, то в такой седловой точке имеет место экономическое конкурентное равновесие

Следует обратить внимание, во-первых, на то, что никакое изменение уровня производства х промышленностью не может увеличить прибыль. Во-вторых, никакое изменение цен на рынке не может уменьшить прибыль. Таким образом, состояние равновесия приводит к устойчивому рынку.

Интерпретации, связанные с условиями Куна — Таккера. Согласно теоремам, изложенным выше, известно, что при определенных предположениях, если имеет место двойственное равенство, справедливы условия Куна-Таккера. Можно привести экономическое объяснение этого результата.

Условие 1 Куна — Таккера утверждает, что

Допустим, что Тогда, неограниченно повышая цену рынок мог бы уменьшить прибыль промышленности до Следовательно, в седловой точке условие 1 Куна — Таккера должно быть выполнено.

Условие 2 Куна — Таккера также имеет экономическую интерпретацию. Так как цена, то Если то рынок имел бы возможность несколько уменьшить скажем, положить получая Но в этом случае прибыль промышленности уменьшалась бы, а в состоянии равновесия какое-либо уменьшение прибыли невозможно. Поэтому

Остается только условие 3 Куна — Таккера. При равновесии

и из следствия 2.1.1 получаем, что эти условия удовлетворяются, так как

В экономических терминах — маргинальный доход от продажи продукции,

маргинальные затраты на сырье. В точке оптимума маргинальные затраты равны маргинальному доходу, что совпадает с утверждением (3.1).

Наконец, обратите внимание на то, что

Это означает, что чистый доход промышленности совпадает с суммарной прибылью, полученной прибавлением чистого дохода к чистой прибыли от продажи или закупки сырья. Это следует из условий 2 Куна — Таккера. Кроме того, в точке равновесия, если имеются излишки сырья и то и эти излишки не приносят прибыли. Следует обратить внимание на то, что промышленность не закупает какого-либо дополнительного сырья, так как

Если бы промышленности пришлось делать такие закупки, то рынок установил бы бесконечно большие цены. Рынок всегда устанавливает свои цены так, чтобы быть уверенным в удовлетворении условия (3.2).