5. Группы симметрии и изотропный материал

5.1. Группы симметрии материала.

Рассмотрим свойства материала. Как было упомянуто выше, физические свойства материала определяются его свойствами при однородном статическом деформировании. В связи с этим предположим, что деформация однородна. В декартовых координатах такая деформация может быть определена функцией

Кроме этой деформации рассмотрим другую, для которой

Рис. 3

Здесь деформация преднамеренно разбита на два этапа (рис. 3). На первом этапе точка переходит в положение X, на втором точка переходит в положение Градиент деформации (5.2) и градиент деформации (5.1) следующие:

Тензоры напряжений для деформации (5.1) и для деформации (5.2) согласно (4.1) соответственно равны

Вообще эти тензоры разные. Может случиться, что для некоторого выполняются равенства

для всех Это значит, что преобразование (5.2) не влияет на поведение материала. В этом случае говорят, что (5.2) является преобразованием симметрии, или, кратко, что преобразование симметрии.

Итак, преобразование симметрии. Если и — преобразования симметрии, то

После подстановки вместо это приводит к заключению, что преобразованию симметрии. Поскольку по определению то (см. (5.3)). Следовательно, существует Подставляя в (5.6) вместо убеждаемся, что также преобразование симметрии. Следовательно, преобразования симметрии образуют группу, которую обозначим через Группа называется группой симметрии или группой изотропии.

Из тождества (5.5) следует, что если то Однако только для ортогональных потому что только при жестких движениях Отсюда следует, что ортогонально, следовательно, также ортогонально. Таким образом, группа является подгруппой ортогональной группы Следовательно, деформации (5.2) не более чем жесткие вращения. Тождество (5.5) подтверждает, что некоторые вращения не влияют на поведение материала.

Перейдем теперь к тождеству, которое удовлетворяет упругий потенциал а. Подставляя (4.15) в имеем последовательно

Сравнивая первое и последнее выражения и интегрируя их, получаем

Постоянная интегрирования пропущена, поскольку преобразование симметрии. Отсюда следует, что постоянная интегрирования равна нулю. Следовательно, функция а имеет ту же группу симметрии, что и функция

5.2. Изотропный материал.

Материал, для которого называется изотропным. Согласно (3.22) для изотропного материала

для любых ортогональных введено полярное разложение (1.21). Примем Таким образом,

В (5.10) входит только произведение Следовательно, если выполняется для собственно ортогонального то оно выполняется для каждого поскольку полная ортогональная группа строится из собственно ортогональной добавлением элементов Функция удовлетворяющая тождественно для каждого ортогонального называется изотропной. Следовательно, можно представить в виде

где

В случае, когда — инвариантная функция, справедливость (5.9) следует из теоремы Кэли — Гамильтона (1.28). Доказательство для общего случая простое, но пространное. Оно приведено, например, в монографии [1].

Поскольку левый тензор деформаций является квадратом тензора (ср. с (1.25)), то из (5.11) следует

где

Формула (5.13) более удобна при вычислениях, чем (5.11), поскольку измеримая функция, неизмеримая функция градиента деформации (ср. с (1.24)).

Для упругого потенциала а согласно (5.8) и (4.29) имеем

для любых ортогональных и Учитывая сначала а затем находим

Итак, изотропная функция тензора которая может быть представлена инвариантами (см. (1.27) и приведенное там обсуждение),

Возвращаясь к (4.14) и (4.33), получаем

где

Используя (1.32), для изотропного материала получаем

Будем использовать эти формулы при последующих вычислениях, вводя иногда для упрощения записи обозначения

Функция накопленной энергии (упругий потенциал) не может быть произвольной функцией градиента деформации или в случае изотропии инвариантов При ее изучении необходимо учитывать широко понимаемые экспериментальные значения. Например, одноосное растяжение должно сопровождаться положительным напряжением и сужением поперечного сечения, срез должен сопровождаться положительным срезывающим напряжением. Более того, скорости распространения акустической волны должны быть действительными и однородная деформация малого параллелепипеда устойчивой. Такие требования налагают определенные ограничения на функцию накопленной энергии. В линейной теории Упругости эти ограничения приводятся к условиям где постоянные Ляме.

Не будем обсуждать эти ограничения. Укажем только, что возможен следующий вид накопленной энергии в изотропном материале:

где постоянные Ляме, а — упругие постоянные второго рода. Функция (5.23) предложена Мурнаганом.

Поскольку для выраженного формулой (5.17) значения а уравнение движения (3.27) (симметрия тензора удовлетворяется тождественно, то в случае, когда вычисления основаны на формулах (5.20) и (5.21), достаточно ограничиться уравнениями (3.26) и (4.35).